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1、第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何7.1 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量7.2 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积7.3 平面方程平面方程7.4 空间直线方程空间直线方程7.5 曲面与空间曲线曲面与空间曲线本本 章章 小小 结结云南大学滇池学院高等数学第七章 空间解析几何7.1 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量第七章 空间解析几何图7-1图7-2第七章 空间解析几何由三个坐标轴两两决定的三个平面xOy 平面、yOz平面和zOx 平面统称为坐标平面.三个坐标平面 将空间分成八个部分,称为八个卦限,分别用字母、表示,如图7-3所示.第七章 空间解析几何图7-3第七章
2、空间解析几何如图7-4所示,设 M 是空间中任意一点,过点 M 作xOy 平面的垂线与xOy 平面交于点M,M称 为点M 在xOy面上的投影.设M在xOy平面直角坐 标系中的坐标为(x,y),再过点 M 作垂直于z 轴的 平面与z 轴相交.设交点在Oz 轴上的坐标为z,则点 M 唯一确定了一个有序实数组(x,y,z).反之,任 给一个有序实数组(x,y,z),先以(x,y)为坐标在 xOy 平面上确定一点M,再过 M作xOy 平面的垂直线段MM,其长度为 z.当z 0 时,点M 在xOy平面的上方;当z0时,点M 在xOy平面的下方;当z=0时,点M 即 为M.因此,有序实数组(x,y,z)唯
3、一确定了空间中的一个点 M,即空间中任意一点 M 与 一个有序实数组(x,y,z)建立了一一对应关系,我们将有序实数组(x,y,z)称为点M 的空 间直角坐标,简称为坐标,记作M(x,y,z),x、y和z分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖 坐标.第七章 空间解析几何图7-3第七章 空间解析几何图7-4第七章 空间解析几何显然,坐标原点O 的坐标为(0,0,0),x 轴上点的坐标形式为(x,0,0),yOz平面上 点的坐标形式为(0,y,z)等.对于一般的点,如(2,3,-1),可用如图7-5所示方式确定 其位置.图7-5第七章 空间解析几何点(x,y,z)关于xOy平面、yOz平面和zOx 平
4、面对称的点分别为(x,y,-z)、(-x,y,z)和(x,-y,z),关于x 轴、y轴和z轴对称的点分别为(x,-y,-z)、(-x,y,-z)和(-x,-y,z),关于坐标原点对称的点为(-x,-y,-z).第七章 空间解析几何点 M 与它在xOy 平面上的投影点M之间的距离称为点M 到xOy 平面的距离.类似 地,可定义点M 到yOz平面的距离和到zOx 平面的距离.过点M 作垂直于x 轴的平面交x 轴于点 M,称点M为点M 在x 轴上的投影,点M 与点M之间的距离称为点M 到x 轴的 距离.类似地,可定义点 M 在y 轴和z 轴上的投影以及到这两个坐标轴的距离.若 M 的坐标为(x,y,
5、z),它在xOy 平面、yOz 平面和zOx 平面上的投影坐标分别为(x,y,0)、(0,y,z)和(x,0,z),则它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影坐标分别为(x,0,0)、(0,y,0)和(0,0,z).第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何图7-6第七章 空间解析几何式(7-1)称为向量a 的坐标分解式,式中三个系数组成的数组(a1,a2,a3)正好是点 M 的坐标.由于向量a与点M 是一一对应的,因此称a1,a2,a3为向量a的坐标,我们将称为向量a 的坐标表示式第七章 空间解析几何三、三、向量的模与方向余弦向量的模与方向余弦 我们已经知道向量的坐标表示式,那么
6、怎样用向量的坐标来表示它的模(长度)和方向 呢?任给一个向量a=a1,a2,a3,从图7-6可以看出它的模(长度)是则有即向量的模(长度)等于其坐标平方和的算术平方根.第七章 空间解析几何下面讨论如何用坐标表示向量的方向.非零向量a与x 轴、y轴和z轴正向的夹角统称 为向量a的方向角,分别记作、和,显然0、.当三个方向角确定后,向量 的方向也就确定了,如图7-7所示.第七章 空间解析几何图7-7第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何例例7-2 设向量a=1,2,-3,求向量a的方向余弦及与向量a同方向的单位向量a0.解解 向量a 的模为所以向量a 的方向余弦及与向量a 同方向的单位向量a0
7、分别为第七章 空间解析几何四、四、向量的代数运算向量的代数运算 与平面的向量 代 数 运 算 类 似,可 将 平 面 的 向 量 运 算 推 广 到 空 间 向 量 中,则 有 如 下 结论:第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何7.2 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积第七章 空间解析几何在物理中,我们已经知道,若力F 作用在物体上,使其产生位移s,则该力所作的功为即F 所作的功W 是向量F 和s的模相乘再乘以它们夹角的余弦.这种运算在其他问题中也 会遇到,因此我们引入向量的结构性运算.第七章 空间解析几何定义定义7-2 向量a和b的模和它们夹角余弦的乘积,称为向
8、量a和向量b的数量积(内 积),这种运算也称为点乘,记作ab,即由数量积的定义7-2以及向量夹角的定义7-1可以得到:(1)aa=|a|2;(2)向量a 和向量b 互相垂直的充分必要条件是ab=0.第七章 空间解析几何两个向量的数量积满足下列运算规律:(1)交换律:ab=ba;(2)分配律:(a+b)c=ac+bc,c(a+b)=ca+cb;(3)数乘结合律:(ab)=(a)b=a(b)(为常数).根据数量积的定义7-2,基本单位向量i、j 和k 满足下列关系:第七章 空间解析几何由上面的结论,我们可以推导出两个向量数量积的坐标表示式:第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何二、二、向量的向量
9、积向量的向量积 定义定义7-3 向量a 和向量b 的向量积(外积)规定是一个向量,这种运算也称为叉乘,记作ab,它的模和方向分别定义为:(1)|ab|=|a|b|sin;(2)ab 垂直于向量a 和向量b,且a、b 和ab 符合右手法则,如图7-8(a)所示.由图7-8(b)可知,模|ab|的几何意义是以向量a和向量b为邻边的平行四边形的 面积S,即因此以向量a 和向量b 为边的三角形面积为第七章 空间解析几何图7-8第七章 空间解析几何由向量积的定义7-3可得:(1)aa=0;(2)向量a 和向量b 平行的充分必要条件是ab=0.两个向量的向量积满足下列运算规律:(1)反交换律:ab=-ba
10、;(2)分配律:(a+b)c=ac+bc,c(a+b)=ca+cb;(3)数乘结合律:(ab)=(a)b=a(b)(为常数).第七章 空间解析几何根据向量积的定义7-3,基本单位向量i、j 和k 满足下列关系:由上面的结论,我们可以推导出两个向量向量积的坐标表示式:第七章 空间解析几何为便于记忆,可把式(7-6)改写为第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何7.3 平平 面面 方方 程程第七章 空间解析几何图7-9第七章 空间解析几何由于n 是非零向量,因此 A、B 和C 不全为零,方程(7-8)称为平面的点法式方程.经整理,方程(7-8)又可等价地写为其中D=-Ax0-By0-Cz0第七章
11、空间解析几何方程(7-9)称为平面的一般方程.从上面的推导可以看出,平面方程是一个三元一次 方程.反过来,任意一个三元一次方程都表示一个平面.特别地,在式(7-9)中,当A=0且 D 0时,平面平行于x 轴;A=0且D=0时,平面通过x 轴.类似地,当B=0且D 0 时,平面平行于y轴;B=0且D=0时,平面通过y轴;当C=0且D 0时,平面平行于 z 轴;C=0且D=0时,平面通过z 轴.第七章 空间解析几何例例7-10 已知一个平面过点(1,1,-2)且与向量2i+j+3k 垂直,求此平面方程.解解 由平面的点法式方程可得即所求平面方程为第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何例例7-12
12、 求xOy 坐标平面的方程.2y-z=0 解解 因为单位向量k 垂直于xOy 平面,故取k=0,0,1为xOy 平面的法向量.又 xOy 平面过原点O=(0,0,0),故xOy 平面的方程为 0(x-0)+0(y-0)+1(z-0)=0 即xOy 坐标平面的方程是z=0.事实上,因为xOy 平面上任一点的竖坐标z都等于0,而横坐标x 和纵坐标y 可以任 z意取值,所以可直接写出xOy平面的方程为z=0.类似地,可得yOz平面的方程为x=0,Ox 平面的方程为y=0第七章 空间解析几何例例7-13 设一平面与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为P(a,0,0)、Q(0,b,0)和 R(0,0,c)
13、,求这个平面的方程,其中a 0,b 0,c 0.解解 设所求平面的一般方程为第七章 空间解析几何由 题意可知P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点都在该平面上,所以这三点的 坐标都满足一般方程,即有解得第七章 空间解析几何代入平面的一般方程并除以D(D 0),即可得所求平面方程为该方程称为平面的截距式方程,a、b 和c分别称为平面在x 轴、y 轴和z 轴上的截距.第七章 空间解析几何二、二、两平面的位置关系两平面的位置关系 两个平面之间的位置关系可用它们的法向量来表示.设有两个平面1 和2,它们的方程分别为它们的法向量分别为n1=A1,B1,C1和n2=A2,B2,C2.第七
14、章 空间解析几何两平面的夹角 就是和=-两者中的锐角或直角,因此有第七章 空间解析几何当两平面的法向量互相平行或互相垂直时,这两个平面也就互相平行或互相垂直,因 而可得两个平面平行的充分必要条件为当分母为零时,规定分子也是零.两个平面垂直的充分必要条件为第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何例例7-16 求点(1,-2,-1)到平面2x+y-2z+4=0的距离.解解 由式(7-13)可得第七章 空间解析几何7.4 空间直线方程空间直线方程第七章 空间解析几何图7-10第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何此外,两平面相交成一直线,所以可将两平面方程联立当x、y、z的对应系数不成比例时,式(
15、7-16)表示一条直线,称为空间直线的一般方程.第七章 空间解析几何例例7-17-求通过点 M0(-1,2,0)且与向量1,-1,2 平行的直线方程.解解 取s=1,-1,2,则所求直线方程为第七章 空间解析几何例例7-18 一条直线过点M0(1,-1,3)且垂直于平面x+2z-1=0,求此直线的点向 式方程和参数方程.解解 平面的法向量n=1,0,2可作为所求直线的方向向量,因此直线的点向式 方程为参数方程为第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何二、二、直线的夹角直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角)称为两直线的夹角.两直线的夹角及它
16、 们平行、垂直的条件,可以利用直线的方向向量来表示.设直线L1和直线L2 的方向向量分别为s1=a1,b1,c1和s2=a2,b2,c2,则L1 和 L2 的夹角 应是和-两者中的锐角或直角,因此第七章 空间解析几何从两向量垂直、平行的充分必要条件可得下列结论:第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何三、三、直线与平面的夹角直线与平面的夹角 给定直线L和平面,当直线L与平面不垂直时,过直线L作垂直于平面的平面交 平面 于直线L,则称直线L为直线L 在平面 上的投影.此时,直线L 和投影直线L的 夹角(0/2)称为直线L 和平面 的夹角.当直线L 和平面 垂直时,规定直线与 平面的夹角为/2.第七章 空间解析几何设 直线L 的方向向量为s=a,b,c,平面 的法线向量n=A,B,C,直线与平面 的夹角为,那么因此因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行,所以直线与平面 垂直的充分必要条件是第七章 空间解析几何因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直,所以直线与平面平行的充分必要条件是第七章 空间解析几何第七章 空间解析几何7.5 曲面与空
