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1、线性代数线性代数目录第第1章章 n阶行列式阶行列式第第2章章 矩阵及其运算矩阵及其运算第第3章章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第第4章章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第第5章章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型第第6章章 线性经济模型简介线性经济模型简介资料库资料库1资料库资料库2资料库资料库3资料库资料库1往年试卷往年试卷4往年试卷往年试卷3往年试卷往年试卷2 往年试卷往年试卷 1.往年试卷往年试卷1资料库资料库2模拟题模拟题 4模拟题模拟题3模拟题模拟题2模拟题模拟题 模拟题模拟题1资料库资料库34数学家拉普拉斯数学家拉普拉斯3数学家克莱姆数学家克莱姆2 数
2、学家莱布尼茨数学家莱布尼茨线性代数史话线性代数史话1 线性代数发展史线性代数发展史5数学家范德蒙数学家范德蒙6 日本数学家关孝和日本数学家关孝和7英国纯粹数学凯莱英国纯粹数学凯莱8数学家雅可比数学家雅可比9数学家柯西数学家柯西线性代数线性代数精品课程精品课程第一章 n阶行列式排列及对换排列及对换1.1行列式的性质与计算行列式的性质与计算1.3克莱姆法则克莱姆法则1.4n n阶行列式的定义阶行列式的定义1.2一一1.1 n1.1 n阶行列式的定义阶行列式的定义排列及其逆序数排列及其逆序数 对对 换换 二二线性代数线性代数精品课程精品课程一、一、排列及其逆序数排列及其逆序数 排列排列逆序数逆序数排
3、列的奇偶性排列的奇偶性线性代数线性代数精品课程精品课程一、一、排列及其逆序数排列及其逆序数 排列排列逆序数逆序数排列的奇偶性排列的奇偶性1.1.排列排列定定义义1 1n个个不不同同的的元元素素按按照照一一定定的的次次序序排排成成一一列列，叫做这叫做这n n个元素的一个全排列，简称个元素的一个全排列，简称 n阶排列阶排列.不妨设排列的不妨设排列的n n个元素为自然数个元素为自然数1 1，2 2，,n,n，并将任意一个，并将任意一个n n阶阶排列记成排列记成例如例如,自然数自然数1,2,3,41,2,3,4构成的构成的4 4阶排列有阶排列有4!=244!=24种种:12341234，1243124
4、3，13241324，13421342，14231423，14321432，21342134，21432143，23142314，23412341，24132413，2431,2431,31243124，31423142，32143214，32413241，34123412，34213421，41234123，41324132，42134213，42314231，43124312，43214321。n n个元素共有个元素共有n!n!个全排列个全排列线性代数线性代数精品课程精品课程2.2.逆序数逆序数一、一、排列及其逆序数排列及其逆序数 排列排列逆序数逆序数排列的奇偶性排列的奇偶性逆序数逆序数对
5、于对于1 1，2 2，n n这这n n个自然数的任一个自然数的任一阶阶排列，我们要考虑排列，我们要考虑其各元素之间的次序其各元素之间的次序.规定规定:自然数从小到大构成的排列自然数从小到大构成的排列1212为标准次序，称为为标准次序，称为标准排列标准排列（或（或自然排列自然排列）.定义定义2 2对任一对任一 n n 阶阶排列，如果两个元素中较大元素排在较排列，如果两个元素中较大元素排在较小元素的前面，那么就称小元素的前面，那么就称这两个元素构成一个逆序这两个元素构成一个逆序（反序反序）.一个排列中所有逆序的总数，叫做一个排列中所有逆序的总数，叫做这个排列的逆序数这个排列的逆序数.用用 表示表示
6、 n n 阶阶排列排列1 1，2 2，n n的逆序数的逆序数.显然，标准排列的逆序数等于显然，标准排列的逆序数等于0.0.计算方法计算方法线性代数线性代数精品课程精品课程一、一、排列及其逆序数排列及其逆序数3 3 排列的奇偶性排列的奇偶性排列排列逆序数逆序数排列的奇偶性排列的奇偶性排列的奇偶性排列的奇偶性定义定义3 3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。逆序数为奇数的排列称为奇排列。例如，排列例如，排列4315243152是偶排列，是偶排列，排列排列321321是奇排列是奇排列.？线性代数线性代数精品课程精品课程二、对换二、对换定定义义4
7、4在在一一个个排排列列中中，把把任任意意两两个个元元素素i,ji,j的的位位置置对调，而其它元素不动，就得到一个新的排列对调，而其它元素不动，就得到一个新的排列.对对于于排排列列所所施施行行的的这这样样一一个个变变换换叫叫做做一一个个对对换换,记记为为(i,j).(i,j).将相邻的两个元素对换叫做相邻对换将相邻的两个元素对换叫做相邻对换.在对换下，排列的奇在对换下，排列的奇偶性会有变化偶性会有变化。？例如，排列例如，排列5 3 1 2 45 3 1 2 4定理定理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.这就是说，经过一次对换，这就是说，经过一次对换，奇奇排列变成排列变成偶偶排列，排列
8、，偶偶排列变成排列变成奇奇排列排列.线性代数线性代数精品课程精品课程推论推论1 1推论推论1 1奇排列对换成标准排列的对换次数是奇数，奇排列对换成标准排列的对换次数是奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数是偶数偶排列对换成标准排列的对换次数是偶数.根据定理根据定理1 1，经过奇数次对换后，排列改变其奇偶性；，经过奇数次对换后，排列改变其奇偶性；经过偶数次对换后，排列不改变其奇偶性经过偶数次对换后，排列不改变其奇偶性.而标准排列是偶排列，于是有而标准排列是偶排列，于是有线性代数线性代数精品课程精品课程定理定理2 2线性代数线性代数精品课程精品课程第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 排列及对换排列
9、及对换1.1n n阶行列式的定义阶行列式的定义1.2行列式的性质与计算行列式的性质与计算1.3克莱姆法则克莱姆法则1.4一一2.1 2.1 n n阶行列式的定义阶行列式的定义二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 n n阶行列式的定义阶行列式的定义 二二线性代数线性代数精品课程精品课程一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 1.1.二元线性方程组二元线性方程组与二阶行列式与二阶行列式 2.2.三阶行列式三阶行列式 莱布尼茨关孝和线性代数线性代数精品课程精品课程一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.1.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式消元法消元法二阶行二阶行列式列式二阶行二
10、阶行列式列式二阶行二阶行列式列式线性代数线性代数精品课程精品课程二阶行列式的定义：二阶行列式的定义：四个数按照一定位置，排成二行二列（横四个数按照一定位置，排成二行二列（横排称为行、竖排称为列）排称为行、竖排称为列）:上述上述表达式称表达式称为为二二阶阶行列式行列式。元素或元元素或元行标行标列标列标主对角线主对角线副副对角线对角线二阶行列式便是二阶行列式便是主对角线上的两主对角线上的两元素之积减去副元素之积减去副对角线上两元素对角线上两元素之积所得的差。之积所得的差。线性代数线性代数精品课程精品课程例例1 1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解 线性代数线性代数精品课程精品课程2 2三阶
11、行列式三阶行列式定义定义：称为三阶行列式。称为三阶行列式。计算公式计算公式对角形法则对角形法则 线性代数线性代数精品课程精品课程例例2 2 计算三阶行列式计算三阶行列式解解 按对角线法则，有按对角线法则，有注意！注意！对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。线性代数线性代数精品课程精品课程二、二、n n阶行列式的定义阶行列式的定义1.n1.n阶行列式的定义阶行列式的定义 2.2.三角行列式的计算三角行列式的计算 3.3.按定义计算行列式按定义计算行列式 4 4.行列式的另一定义行列式的另一定义 线性代数线性代数精品课程精品课程1 1、n n阶行列式的定义阶行列式
12、的定义主对角线主对角线副副对角线对角线线性代数线性代数精品课程精品课程2 2、三角行列式的计算三角行列式的计算例例3 3证明证明 1.2.对角行列式对角行列式【注注】主对角线主对角线上所有元素的乘积上所有元素的乘积取正号取正号,副对角线副对角线上所有元素的乘积上所有元素的乘积未必取负号。未必取负号。?线性代数线性代数精品课程精品课程例例4 4证明证明(1)(1)上三角行列式上三角行列式(2)(2)下三角行列式下三角行列式(3)(3)反上三角行列式反上三角行列式(4)(4)反下三角行列式反下三角行列式 如何证明？如何证明？化化三三角角形形线性代数线性代数精品课程精品课程3 3、按定义计算行列式、
13、按定义计算行列式方法：当行列式中方法：当行列式中0 0比较多时比较多时,可以按定义计算行列式可以按定义计算行列式:将每一将每一项按第项按第1 1行的元素写在第行的元素写在第1 1个位置个位置,第第2 2行的元素写在第行的元素写在第2 2个位置，个位置，第第n n行的元素写在第行的元素写在第n n个位置个位置,然后计算列标排列的逆序，决定然后计算列标排列的逆序，决定该项的符号。该项的符号。例例5 5求下列行列式的值求下列行列式的值解：解：线性代数线性代数精品课程精品课程4 4.行列式的另一定义行列式的另一定义为什么？为什么？1.3 1.3 行列式的性质与计算行列式的性质与计算一一行列式的性质行列
14、式的性质 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 二二分块三角行列式的计算分块三角行列式的计算 三三行列式的计算方法行列式的计算方法 四四线性代数线性代数精品课程精品课程一、一、行列式的性质行列式的性质 性质性质1 1 性质性质2 2 性质性质3 3 性质性质4 4 性质性质6 6性质性质5 5 线性代数线性代数精品课程精品课程性质性质1行列式与它的转置行列式的值相等行列式与它的转置行列式的值相等.即即转置转置作用：凡对行成立的性质，对列也同样成立。作用：凡对行成立的性质，对列也同样成立。以后仅对行证明以后仅对行证明,对列同样成立。对列同样成立。线性代数线性代数精品课程精品课程性质性质2互换
15、行列式的其中两行（列），行列式改变符号互换行列式的其中两行（列），行列式改变符号.线性代数线性代数精品课程精品课程性质性质3行列式中某一行（列）所有元素的行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面公因子可以提到行列式符号的外面.线性代数线性代数精品课程精品课程性质性质4如果行列式中有两行（列）的元素如果行列式中有两行（列）的元素对应对应成比例，那成比例，那么行列式等于零么行列式等于零.线性代数线性代数精品课程精品课程性质性质5如果行列式的某一行（列）元素都是两数之和，如果行列式的某一行（列）元素都是两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和。那么可以把行列式表示成两个行列
16、式的和。线性代数线性代数精品课程精品课程性质性质6把行列式某一行（列）的元素同乘以数把行列式某一行（列）的元素同乘以数k k，加到，加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变，另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变，K倍线性代数线性代数精品课程精品课程注注：（1 1）使用性质）使用性质2 2，性质，性质3 3，性质，性质6 6计算行列式的方法称为计算行列式的方法称为消元法消元法.（2 2）性性质质中有三个性中有三个性质质个是行列式等于个是行列式等于0 0的充分条件的充分条件。但是，该行列式并没有一但是，该行列式并没有一行（列）为行（列）为0 0、两行（列）、两行（列）相同或两行（列）成比例相同或两行（列）成比例.（3 3）使用消元法可以把行列式化为三角行列式的形式，从）使用消元法可以把行列式化为三角行列式的形式，从而方便地求出行列式的值而方便地求出行列式的值.此方法叫做此方法叫做化上（下）三角形法化上（下）三角形法.（注意（注意“1 1”的作用：消元时不产生分数。若没有的作用：消元时不产生分数。若没有“1 1”，有时可通过消元法造出有时可通过消元法造出“1 1”）线性代数线性代数精
