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1、第一章 直角三角形1.1 直角三角形的性质和判定（）在前面，我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之间的一些性质，直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？思考思考如图，在RtABC中，C=90，两锐角的和等于多少呢？CBA新知探究 1 在RtABC中，因为C=90，由三角形内角和定理，可得A+B=90.直角三角形的两个锐角互余.有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在ABC中，A+B=90，那么ABC是直角三角形吗？CBA思考思考在ABC中，因为A+B+C=180，又A+B=90，所以C=90.于是ABC是直角三角形.有两个角互余的三角形是
2、直角三角形.如图，画一个RtABC，并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD与线段AB之间的数量关系，你能得出什么结论？CBAD新知探究 2线段CD比线段AB短.我测量后发现CD=0.5AB.是否对于任意一个RtABC，都有CD=AB成立呢？如图，如果中线CD=AB，则有DCA=A.由此受到启发，在左图的RtABC中，过直角顶点C作射线CD交AB于D，使DCA=A，则CD=AD.又A+B=90，DCA+DCB=90，B=DCB.CD=BD.故得CD=AD=BD=AB.点D是斜边AB上的中点，即CD是斜边AB的中线.从而CD与CD重合，且CD=AB.CBAD直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3、【例1】如图，已知CD是ABC的AB边上的中线，且CD=AB.求证：ABC是直角三角形.CBAD12证明：CD=AB=AD=BD，1=A，2=B.A+B+ACB=180，ACB=1+2，A+B+1+2=180.2（A+B）=180.A+B=90.ABC是直角三角形.1.在RtABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边AB的长是多少？答案：斜边AB的长为5cm.练习练习2.如图，ABCD，CAB和ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.ABCDEH答案：AHF是直角三角形；AC=4.如图，在RtABC中，BCA=90，如果A=
4、30，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢？ABC30新知探究 3ABC30D如图，取线段AB的中点D，连接CD.CD是RtABC斜边AB上的中线，CD=AB=BD.BCA=90，且A=30，B=60.CBD为等边三角形.BC=BD=AB.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图，在RtABC中，BCA=90，若BC=AB，那么A=30吗？ABC思考思考如图，取线段AB的中点D，连接CD.CD是RtABC斜边AB上的中线，CD=AB=BD.BC=AB，BC=BD=CD，即BDC为等边三角形.B=60.A+B=90，A=30.ABCD在直角三角形中，如果一条直
5、角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30.【例2】如图，在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60的方向，且与轮船相距 海里.若该船继续保持由西向东的航向，那么有触礁的危险吗？分析：取轮船航向所在的直线为OB.过点A作ADOB，垂足为D.AD长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行就不会有触礁危险.解：在图中，过点A作ADOB，垂足为D，连接AO.在RtAOD中，AO=海里，AOD=30，于是 由于AD长大于20海里，所以轮船由西向 东航行不会触礁.3.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30，大厅两层之
6、间的高度BC为6m.你能算出电梯AB的长度吗？答案：电梯AB的长为12m.练习练习4.如图，在RtABC中，ACB=90，CD垂直于AB，垂足为点D，DB=BC，求A的度数.ABCD答案：A=30.通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流你还存在哪些疑问，和同伴交流.我思 我进步第一章 直角三角形1.2 直角三角形的性质和判定（）如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.ACBa=3b=4c=?我量得c为5.c=5思考思考在方格纸上，以图中的RtABC的三边为边长分别
7、向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面积S1、S2、S3之间有什么关系呢？S1ACB34S2S3讨论讨论由图可知，S1=32，S2=42，为了求S3，我们可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积，得S3=52.32+42=52，S1+S2=S3.在图中，S1+S2=S3，即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？S1ACB34S2S3如图，任作一个RtABC，C=90，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？ACBabc步骤1：先剪出4个如右图所示的直角三角形，由于每个直角三角形的
8、两直角边长为a，b（其中ba），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.新知探究 1 步骤2：再剪出1个边长为c的正方形，如下图所示.c步骤3：把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图所示的图形.由于DHKEIH，2=4.又1+2=90，1+4=90.又KHI=90，1+KHI+4=180，即D，H，E在一条直线上.DEFGHIJKaaaabbbbcccc1234DEFGHIJKaaaabbbbcccc1234同理E，I，F在一条直线上；F，J，G在一条直线上；G，K，D在一条直线上.因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a+b)，它的面积为(a+b)2.又正方形DEF
9、G的面积为c2+2ab，即(a+b)2=c2+2ab，a2+b2=c2.直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2.结论其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图），因此这一性质被称为勾股定理.弦股勾【例1】如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，ADBC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？ABCD解：在ABC中，AB=AC=13，BC=10，ADBC，BD=BC=5.在RtADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，AD=故AD的长为12cm
10、.1.在RtABC中，C=90.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.答案：（1）；（2）；（3）.练习练习如图，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙角B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后发现高度不够，于是将梯脚往墙角移近0.5m，即移动到C处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？思考思考如图，是由实物图抽象出来的示意图.在RtABC中，计算出AB；在RtABC中，计算出AB，则可得出梯子往上移动的距离为（AB-AB）m.AABCC墙面地面梯子在RtABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得
11、，在RtABC中，AC=4m，BC=1m，故AB=因此AA=3.87-3.71=0.16(m).即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动了0.5m.【例2】（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？ABCB15分析：根据题意，先画出水池截面示意图，如右图.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B.解：如图，设水
12、池深x尺，则AC=x尺，AB=AB=（x+1）尺.因为正方形池塘边长为10尺，所以BC=5尺.在RtACB中，根据勾股定理，得 x2+52=(x+1)2，解得 x=12.则芦苇长为13尺.答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.ABCB152.如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁危险？ABC东北6030答案：不会有触礁危险.练习练习3.如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影
13、响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60.求电线CDE的总长L（A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.DBCAE答案：我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.”那么，这个定理的逆命题成立吗？思考思考如图，在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么ABC是直角三角形吗？ABCabc如果我们能构造一个直角三角形，然后证明ABC与所构造的直角三角形全等，即可得ABC是直角三角形.新知探究 2如图，作RtABC，
14、使C=90，BC=a，AC=b.在RtABC中，根据勾股定理得，AB 2=a2+b2，a2+b2=c2，AB2=c2，AC=c.在ABC和ABC中，BC=BC=a，AC=AC=b，AB=AB=c，ABCABC.C=C=90.ABC是直角三角形.ABCab如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.结论先构造满足某些条件的图形，然后根据所先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略成证明，这也是常用的问题解决策略.【例3】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是
15、直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.满足满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数的三个正整数称为勾股数.解：（1）62+82=100，102=100，62+82=102.这个三角形是直角三角形.（2）122+152=369,202=400，122+152202.这个三角形不是直角三角形.【例4】如图，在ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的长.ABCD解：在ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，62+82=10
16、2，即AD2+BD2=AB2，ADB为直角三角形.ADB=90.ADC=180-ADB=90.在RtADC中，DC2=AC2-AD2，4.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25；（3）a=4，b=5，c=答案：（1）（3）是直角三角形；（2）不是直角三角形.练习练习5.如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=1/4BC.求证：AEF是直角三角形.ABCDEF通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流你还存在哪些疑问，和同伴交流.我思 我进步第一章 直角三角形1.3 直角三角形全等的判定情境导入在前面的学习中，我们用SAS，ASA，AAS和SSS来判定两个三角形全等.对于两个直角三角形，除了可以运用一般三角形全等的判定方法外，是否还有其他判定方法呢？如图，在RtABC和RtABC中，已知AB=AB，AC=AC，ACB=ACB=90，那么 RtABC和RtABC全等吗？ACACBB新知探究 它们是全等的.由勾股定理，直角三角形的两边确定，
