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1、第一节 函数1ppt课件一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集2ppt课件数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.3ppt课件2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点
2、.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,4ppt课件称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.5ppt课件3.3.邻域邻域:6ppt课件4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示
3、方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.7ppt课件5.5.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:8ppt课件因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域二、函数概念二、函数概念9ppt课件自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.10ppt课件定义定义:如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是
4、只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数11ppt课件 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo12ppt课件(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线13ppt课件有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数14ppt课件(4)取最值函数取最值函数yxoyxo15ppt课件在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子
5、来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.16ppt课件例例1 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压17ppt课件18ppt课件例例2 2解解故故19ppt课件三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:20ppt课件2函数的单调性函数的单调性:xyo21ppt课件xyo22ppt课件3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x23ppt课件奇函数奇函数yxox-x24ppt课件
6、4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.25ppt课件 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.四、反函数四、反函数26ppt课件五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数27ppt课件思考题思考题28ppt课件思考题解答思考题解答设设则则故故29ppt课件练练 习习 题题30ppt课件31ppt课件练习题答案练习题答案32ppt课件33pp
7、t课件一、基本初等函数1.幂函数幂函数34ppt课件2.指数函数指数函数35ppt课件3.对数函数对数函数36ppt课件4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数37ppt课件余弦函数余弦函数38ppt课件正切函数正切函数39ppt课件余切函数余切函数40ppt课件正割函数正割函数41ppt课件余割函数余割函数42ppt课件5.反三角函数反三角函数43ppt课件44ppt课件45ppt课件 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.46ppt课件二、复合函数 初等函数1.复合函数复合函数定义定义:47ppt课件注意
8、注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.48ppt课件例例1 1解解49ppt课件综上所述综上所述50ppt课件三、双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数51ppt课件奇函数奇函数,有界函数有界函数
9、,52ppt课件双曲函数常用公式双曲函数常用公式53ppt课件2.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,54ppt课件55ppt课件奇函数奇函数,56ppt课件四、小结函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)57ppt课件思考题思考题58ppt课件思考题解答思考题解答不能不能59ppt课件一、填空题一、填空题:练练 习习 题题60ppt课件61ppt课件练习题答案练习题答案
10、62ppt课件63ppt课件64ppt课件“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入65ppt课件正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积66ppt课件2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”67ppt课件二、数列的定义例如例如68ppt课件注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次
11、取2.数列是整标函数数列是整标函数69ppt课件播放播放三、数列的极限三、数列的极限70ppt课件问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:71ppt课件72ppt课件如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：73ppt课件几何解释几何解释:其中其中74ppt课件数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1
12、证证所以所以,注意：注意：75ppt课件例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.76ppt课件例例3证证77ppt课件例例4证证78ppt课件四、数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界79ppt课件定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.80ppt课件2.唯一性唯一
13、性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.81ppt课件例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.82ppt课件3.(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系)如果数列如果数列收敛于收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是是a83ppt课件五.小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界
14、性唯一性有界性唯一性.84ppt课件思考题思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立85ppt课件思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大”的值的值86ppt课件从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为反而缩小为87ppt课件练练 习习 题题88ppt课件103ppt课件播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限104ppt课件通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数
15、如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.105ppt课件106ppt课件2.另两种情形另两种情形:107ppt课件3.几何解释几何解释:108ppt课件例例1证证109ppt课件二、自变量趋向有限值时函数的极限110ppt课件111ppt课件2.几何解释几何解释:注意：注意：112ppt课件例例2证证例例3证证113ppt课件例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.114ppt课件例例5证证115ppt课件3.单侧极限单侧极限:例如例如,116ppt课件左极限左极限右极限右极限117ppt课件左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证118ppt课件三、函数极限的性
16、质1.有界性有界性2.唯一性唯一性119ppt课件推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理(保序性保序性)120ppt课件定理定理(保号性保号性)推论推论121ppt课件4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理122ppt课件证证123ppt课件例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.124ppt课件例例7证证125ppt课件二者不相等二者不相等,126ppt课件四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)127ppt课件过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 128ppt课件思考题思考题129ppt课件思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.130ppt课件一、填空题一、填空题:练练 习习 题题131ppt课件132ppt课件练习题答案练习题答案133ppt课件
