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1、精品课件高中数学选择性必修1第一章空间向量与立体几何新人教版 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示特级教师优秀课件精选教学目教学目标标掌握空间直角坐标系的建立方法和空间向量坐标的定义掌握空间向量运算的坐标表示掌握空间向量的坐标混合运算能够利用空间向量的坐标运算来求空间向量的长度与夹角能够利用空间向量的坐标来判断空间向量的共线与共面教学重点教学重点空间向量运算的坐标表示空间向量的坐标混合运算利用空间向量的坐标运算来求空间向量的长度与夹角利用空间向量的坐标来判断空间向量的共线与共面教学教学难难点点利用空间向量的坐标运算来求空间向量的长度与夹角利用空间向量的坐标来判断空间向量的共线与
2、共面在平面向量向量中我们学习过用建立平面直角坐标系的方法解决问题，上节课我们学习了正交分解的概念，那么建立坐标系的方法是否适用于空间向量中呢？如果适用，又是怎样应用的呢？空空间间直角坐直角坐标标系系单位正交基底：有公共起点O的三个两两垂直单位 向量，空间直角坐标系定义：以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz卦限：三个坐标平面把空间分为部分，每一部分都称为画法：通常使xOy=135（45），yOz=90,如下图所示八的记作i，j，k建系方法（右手直角坐标系）：右手拇指指向x轴的正方向，食指向y轴正方向，中指指向z轴的正方向.如下
3、图所示卦限空空间间直角坐直角坐标标系系空空间间直角坐直角坐标标系系坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxiyjzk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j，k下的坐标，记作p(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标如图，在长方体OABC-DABC中，OA=3，OC=4,OD=2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.(1)写出D，C，A,B四点的坐标;(4,-8,3)，(2,-3,7)解:(1)点D在z轴上，且OD=2,所以坐标是(0,0,2).同理，点C的坐标是(0,4,0).点A在x轴、
4、y轴、z轴上的射影分别为A，O,D,它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2，所以点A的坐标是(3,0,2).点B在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D,它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点B的坐标是(3,4,2).在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且|CG|CD|，H中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.解建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，而E为DD1的中点故其坐标为过F作FMAD,FNDC,由平面几何知识，作HKCG于K,由于H为C1G的中点,故K为CG的中1.在空间直角坐
5、标系中标出下列各点:A(0,2,4)，B(1,0,5)，C(0,2,0),D(1,3,4).2.在空间直角坐标系Oxryz中,(1)哪个坐标平面与x轴垂直？哪个坐标平面与y轴垂直？哪个坐标平面与z轴垂直？(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标.(3)写出点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标.如下图所示：解:(1)因为三条坐标轴两两互相垂直，所以xOy平面与z轴垂直，xOz平面与y轴垂直，yOz平面与x轴垂直(2)过点P作PP1xOy平面，则点P1的坐标为(2,3,0)，同理点P在xOz平面上的射影坐标为(2,0,4)，点P在yOz平面上的射影坐标为(0,3,4).(
6、3)点P关于原点的对称点P的坐标为(-1,-3,-5).3.在长方体OABC-DABC中，OA=3，OC=4,OD=3，AC与BD相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点C，B,P的坐标;理解并掌握如何建立空间直角坐标系能够在空间直角坐标系中准确读出点的坐标空空间间直角坐直角坐标标系系空空间间向量运算的坐向量运算的坐标标表示表示空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量运算加法减法数乘数量积向量表示ababaab坐标表示_(a1b1，a2b2，a3b3)(a1-b1，a2-b2，a3-b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3
7、_已知a(1,-2,1)，a-b(-1,2,-1)，则b等于（）A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)解析依题意，得ba-(-1,2,-1)a(1,-2,1)2(1,-2,1)(2,-4,2).题题型一型一 空空间间向量坐向量坐标标的的计计算算已知向量a(4,-2,-4)，b(6,-3,2)，则(2a3b)(a-2b)_.若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(c-a)(2b)-2，则x_.解析由题意，得ca(0,0,1-x)，2b(2,4,2)，故(c-a)(2b)2(1-x)-2，解得x2.理解并掌握空间向量的运
8、算空空间间向量的坐向量的坐标标混合运混合运算算空空间间向量运算的坐向量运算的坐标标表示表示设a(a1，a2，a3)模|a|_设空间直角坐标系中的点A(x1，y1，z1),B(x2，y2，z2),则=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标题题型二型二 空空间间向量的坐向量的坐标计标计算算已知空间三点A(-2,0,2)，B(-1,1,2)，C(-3,0,4).由题意得(-1,0,2)x(1,1,0)y(-2，-1,2)，所以(-1,0,2)(x-2y，x-y,2y)，所以所以所以存在实数x1，y1使得结论成立.理解并掌握空间向
9、量模的计算方法向量模的向量模的计计算算空空间间向量运算的坐向量运算的坐标标表示表示数量积：ab=a1b1a2b2a3b3夹角：cosa，b空空间间向量运算的坐向量运算的坐标标表示表示则cos故cos理解并掌握空间向量夹角的求法向量向量夹夹角的角的计计算算空空间间向量平行、垂直和共面的条件向量平行、垂直和共面的条件设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，m(m1，m2，m3)，则名称ababm、a、b共面向量表示形式ab(R)ab0m=xa+yb满足条件坐标表示形式a1b1，a2b2，a3b3(R)ab_a1b1a2b2a3b30m1=xa1+yb1m2=xa2+yb2m3=xa3+y
10、b3若(ka+b)(a-3b),求k的值.例例题题例例题题(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k.所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),又因为(ka+b)(ka-2b),所以(ka+b)(ka-2b)=0.例例题题已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7,-5)，点P(x,-1,3)在平面ABC内，则x_.所以解得x=11.例例题题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证EFDA1.例例题题证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则又A1(1,0,1),D(0,0,0),例例题题
11、如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=(1)求AM的长.(2)求BE1与DF1所成角的余弦.解析：(1)利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A,M的坐标,利用空间两点间的距离公式求出AM的长.例例题题所以所以1.已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1)求：（1）a+b;（2）6a;（3）3a-b;（4）ab.2.已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且ab,求x的值.练习练习练习练习3.在x轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等练习练习4.如图，正方体OAB
12、C-DABC的棱长为a.点N,M分别在AC,BC上，AN=2CN,BM=2MC,求MN的长.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴，建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则M(2,1,0),C(0,2,0),D(0,0,0),B1(2,2,2),练习练习理解并掌握空间向量平行、垂直的条件理解并掌握空间向量共面的条件空空间间向量平行、垂直和共面的条向量平行、垂直和共面的条件件1.在空间直角坐标系Oxyz中，三个非零向量a,b,c分别平行于x轴、y轴、z轴，它们的坐标
13、各有什么特点?2.M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标:(1)与点M关于x轴对称的点;(2)与点M关于y轴对称的点；(3)与点M关于z轴对称的点;(4)与点M关于原点对称的点.点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，(1)与点M关于x轴对称的点为:(x,-y,-z)(2)与点M关于y轴对称的点为:(-x,y,-z)(3)与点M关于z轴对称的点为:(-x,-y,z)(4)与点M关于原点对称的点为:(-x,-y,-z)3.如图，正方体OABC-DABC的棱长为a，E,F,G,H,I,J分別是棱CD,DA,AA,AB,BC,CC的中点，写出正六边形
14、EFGHIJ各顶点的坐标.正方体OABC-DABC的棱长为a,且E,F,G,H,I,J分別是棱CD,DA,AA,AB,BC,CC的中点,(1)在空间直角坐标系中标出A,B两点，如图1所示;计算A,B之间的距离为(2)在空间直角坐标系中标出A.B两点，如图2所示;计算A.B之间的距离为4.先在空间直角坐标系中标出A,B两点，再求它们之间的距离:(1)A(2,3,5),B(3,1,4);(2)A(6,0,1),B(3,5,7).5.已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2).求:(1)a(b+c);(2)a十6b-8c.6.求证:以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(
15、2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱A1A和B1B的中点，求CM和D1N所成角的余弦值.以D为原点,分別以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则(0,2,0),D1(0,0,2),M(2,0,1),N(2,2,1)9.a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3c,a+b,a-b,c是空间的另一个基底，用基底a+b,a-b,c表示向量p.总结总结空间直角坐标系：右手定则空间向量的混合运算：向量的模的计算：向量的夹角计算：加法减法数乘数量积ababaab_(a1b1，a2b2，a3b3)(a1-b1，a2-b2，a3-b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3_cosa，b空空间间向量平行、垂直和共面的条件向量平行、垂直和共面的条件设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，m(m1，m2，m3)，则名称ababm、a、b共面向量表示形式ab(R)ab0m=xa+yb满足条件坐标表示形式a1b1，a2b2，a3b3(R)ab_a1b1a2b2a3b30m1=xa1+yb1m2=xa2+yb2m3=xa3+yb3
