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1、第一节第一节 晶格晶格(二二)三、三、布拉维格子布拉维格子(Bravais Lattice)四、四、原胞原胞(primitive cell)五、五、密堆积、配位数和致密度密堆积、配位数和致密度(b)(c)(a)(b)(c)(a)(a)a)、(b)(b)、(c)(c)为二维晶体结构示意图为二维晶体结构示意图2.1 2.1 晶晶 格格(crystal lattice)三、三、布拉维格子布拉维格子(Bravais Lattice)三者各自有相同的三者各自有相同的基本结构单元基本结构单元，且在平面内，且在平面内作作周期性分布周期性分布(b)(c)(a)1.1.晶体结构的周期性晶体结构的周期性 理想晶体
2、理想晶体可看成是由完全相同的可看成是由完全相同的基基本结构单本结构单元元(基元基元)在空间作在空间作周期性周期性无限无限排列而成的排列而成的.(.(注意注意物理上对物理上对无限无限的理解的理解)所有晶体的结构可以用所有晶体的结构可以用晶格晶格来描述，这种晶来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为群称为基元基元，基元在空间周期性重复排列就形成，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构晶体结构。1).1).基元、格点和晶格基元、格点和晶格 在晶体中适当选取某些原子作为一个在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为
3、，这个基本结构单元称为基元基元，基元是晶，基元是晶体结构中体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构复排列就形成晶体结构。(1)(1)基元基元(b)(c)(a)任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况则不相同而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。(2)(2)晶格晶格 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做的点子在空间有规则地做周期性无限周期性无限分布，这分布，这些呈周期性无限分布的几何点的集合形成一个些呈周期性无限
4、分布的几何点的集合形成一个空间点阵，通过这些点空间点阵，通过这些点做三组不共面的平行直做三组不共面的平行直线线族，形成一些族，形成一些网格网格，称为，称为晶格晶格。相应的代表。相应的代表点称为点称为格点格点(b b)(c)c)(a)a)晶格晶格是晶体结构周期性的是晶体结构周期性的数学抽象数学抽象，它忽，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。周期性。用矢量表示格用矢量表示格点的排列。点的排列。(3)(3)格点格点 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为置，称为格点格点。一个格点代表一个基元一个格点代表
5、一个基元，它可以代表，它可以代表基元基元重心重心的位置，也可以代表基元中的位置，也可以代表基元中任意任意的点子。的点子。(b)(a)2.2.布拉维格子、简单晶格和复式晶格布拉维格子、简单晶格和复式晶格(1)(1)布拉维格子布拉维格子布拉维格子布拉维格子有两个等价的定义有两个等价的定义定义定义1 1：由位矢由位矢的一系列的的一系列的点点所构成所构成的晶格，称为的晶格，称为布拉维晶格布拉维晶格.是三个不共面的矢量，是三个不共面的矢量，称为称为布拉维格子的布拉维格子的基矢基矢(Primitive vector),它代它代表格点在这三个方向规则性排列的表格点在这三个方向规则性排列的重复单元重复单元(长
6、长度度).为为格矢格矢，其端点称为，其端点称为格点格点(lattice site)为整数为整数,定义定义2 2 布拉维点阵布拉维点阵是由在空间排列和取向完全等同是由在空间排列和取向完全等同的一系列分立的的一系列分立的格点格点在空间作无限的规则排列在空间作无限的规则排列所构成的所构成的点阵点阵。格点可以看作排列在一系列。格点可以看作排列在一系列平平行等距行等距的的直线族直线族和和平面族平面族上，这样点阵构成上，这样点阵构成网网格格，称为，称为晶格或格子晶格或格子。因此，。因此，布拉维点阵也称布拉维点阵也称为布拉维格子为布拉维格子。几点说明：几点说明：1).由定义可知，构成布拉维格子的由定义可知，
7、构成布拉维格子的所有格点所有格点是完全等价的是完全等价的，所有的，所有的格点周围环境相同格点周围环境相同。常。常以此为判据来判断某一格子是否为布拉维格子。以此为判据来判断某一格子是否为布拉维格子。2).晶体结构晶体结构=布拉维格子布拉维格子+基元基元3).布拉维格子是一个无限延展的布拉维格子是一个无限延展的理想点阵理想点阵。它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在，它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在，以及以及T 0时晶格的振动时晶格的振动.但是它但是它抓住了主要矛抓住了主要矛盾盾-晶体所具有的晶体所具有的平移对称性平移对称性:即平移任一即平移任一格矢格矢 ，晶体保持不变的特性。晶体保持不变的
8、特性。是实际晶体是实际晶体的一个理想抽象的一个理想抽象。4).布拉维格子的两个定义是等价的布拉维格子的两个定义是等价的。在第一种定义的布拉维格子中在第一种定义的布拉维格子中,取某格点为取某格点为原点原点,它至其他格点的矢量它至其他格点的矢量 称为格矢量称为格矢量.可可表示为表示为式中式中为一组基矢为一组基矢，为一组整数为一组整数，当当 取遍一切整数时，便可得到全部格取遍一切整数时，便可得到全部格点的位置。点的位置。这样我们就从第一个定义推出了第二个定这样我们就从第一个定义推出了第二个定义，但是，对于符合第二个定义的点阵，如何义，但是，对于符合第二个定义的点阵，如何确定其基矢则比较困难，且取法也
9、不唯一。确定其基矢则比较困难，且取法也不唯一。5).自然界中晶格类型自然界中晶格类型很多，但是只可能很多，但是只可能有有1414种种布拉维格子布拉维格子(后面讲后面讲)(2)(2)简单晶格和复式晶格简单晶格和复式晶格(complex crystal lattice)简单晶格：简单晶格：为了直观表示晶体结构，为了直观表示晶体结构，常将常将组成晶体的各种原子组成晶体的各种原子以不同符号在图中一并标以不同符号在图中一并标出来出来，如果晶体由如果晶体由完全相同的一种原子完全相同的一种原子组成，组成，且且每个原子周围的情况完全相同每个原子周围的情况完全相同，则这种原子则这种原子所组成的网格称为所组成的网
10、格称为简单晶格简单晶格。(基元只包含一个基元只包含一个原子原子)复式晶格：如果晶体由复式晶格：如果晶体由两种或两种两种或两种以上原子以上原子组成，且同种原子各构成和格点相同的网格，称组成，且同种原子各构成和格点相同的网格，称为为子晶格子晶格，它们相对位移而形成，它们相对位移而形成复式晶格复式晶格。复式复式晶格可看成是由若干个相同的简单晶格相对错位晶格可看成是由若干个相同的简单晶格相对错位套构而成。套构而成。(基元包含两个或两个以上原子基元包含两个或两个以上原子)有些书上把简单晶格称为布拉维格子，而有些书上把简单晶格称为布拉维格子，而把复式格子称为非布拉维格子把复式格子称为非布拉维格子(如清华大
11、学如清华大学20032003年年6 6月第一版韦丹著的固体物理月第一版韦丹著的固体物理p22).p22).这是这是源于布拉维格子要求任一格点等价而言的，但源于布拉维格子要求任一格点等价而言的，但是，这种说法，我认为不妥，因为，布拉维格是，这种说法，我认为不妥，因为，布拉维格子是一个纯粹的数学抽象，子是一个纯粹的数学抽象，布拉维格子中的格布拉维格子中的格点是一个基元点是一个基元，而，而复式格子只不过进一步考虑复式格子只不过进一步考虑了基元的构成了基元的构成，把基元中的每一个原子分开来，把基元中的每一个原子分开来处理了。所以，处理了。所以，布拉维格子和简单晶格、复式布拉维格子和简单晶格、复式晶格间
12、不能互相定义晶格间不能互相定义。注：注：即使是由同一种原子组成的晶格，它也不一即使是由同一种原子组成的晶格，它也不一定是简单晶格。后面提到的金刚石结构就是复式定是简单晶格。后面提到的金刚石结构就是复式格子格子简单晶格简单晶格复式晶格复式晶格 原胞原胞是晶体中是晶体中体积最小体积最小的周期性重复单元的周期性重复单元，整个晶格可看成是由无限多个原胞整个晶格可看成是由无限多个原胞无间隙地无间隙地紧紧密排列而成，或者说将原胞密排列而成，或者说将原胞平移一切可能的格平移一切可能的格矢量矢量便可得到整个晶格。便可得到整个晶格。四、四、原胞原胞(primitive cell)1.1.原胞的概念原胞的概念 对
13、于三维晶格，在晶格中取一个格点为顶对于三维晶格，在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的的平行六面体平行六面体作为重复单元，这个平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为原胞原胞，代表原胞三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本原胞的基本平移矢量平移矢量，简称，简称基矢基矢。如图如图:对于对于三维晶格三维晶格则以则以 为棱的平行六面体是晶格体积为棱的平行六面体是晶格
14、体积的最小重复单元，即原胞的最小重复单元，即原胞原胞的体积为原胞的体积为对于对于二维晶格二维晶格的原胞是的原胞是平行四边形平行四边形对于对于一维晶格一维晶格的原胞是的原胞是线段线段，长度为最近邻格，长度为最近邻格点的间距点的间距2.2.说明：说明：1).1).对于对于同一晶格，原胞的取法不唯一同一晶格，原胞的取法不唯一(由基由基矢而定矢而定)，但是无论如何选取，但是无论如何选取，原胞均有相同原胞均有相同的体积的体积，每个原胞平均，每个原胞平均只包含一个格点只包含一个格点。比如：。比如：平行六面体，平行六面体，8 8个格点分别位于个格点分别位于8 8个顶角，每个个顶角，每个格点的贡献为八分之一。
15、格点的贡献为八分之一。2).2).格点格点对应对应基元基元，如果基元由，如果基元由n n个原子个原子组成，组成，则每个则每个原胞包含原胞包含n n个原子。个原子。3).3).原胞反映了晶格的周期性原胞反映了晶格的周期性，各原胞中，各原胞中等价等价点点的一切的一切物理性质物理性质相同。也就是说，作为相同。也就是说，作为位置位置的函数的各种物理量的函数的各种物理量应应具有晶格的周期性具有晶格的周期性(或平或平移对称性移对称性)4).4).由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格的周期性，而不能反映晶格的对称性。反映晶格的周期性，而不能反映晶格的对称性。为了弥
16、补上述不足，人们常用为了弥补上述不足，人们常用维格纳维格纳-塞兹塞兹(Wigner-Seitz)提出的原胞的取法。提出的原胞的取法。3.维格纳维格纳-塞兹塞兹(Wigner-Seitz)原胞原胞 构造：以晶格中构造：以晶格中某一个格点某一个格点为为中心中心，作其，作其与所有与所有近邻格点连线近邻格点连线的的垂直平分面垂直平分面(或中垂线或中垂线)，由这些垂直平分面，由这些垂直平分面(或中垂线或中垂线)所围成的所围成的以该以该格点为中心的最小体积格点为中心的最小体积(或面积或面积)即为即为WS原胞原胞。维格纳维格纳-塞茨原胞塞茨原胞注：注：1).1).WS原胞原胞既是晶格体积的既是晶格体积的最小重复单元最小重复单元，又能直观反映又能直观反映晶格全部宏观对称性晶格全部宏观对称性。所以，。所以，WS原胞也称为原胞也称为对称化原胞；对称化原胞；2).WS原胞的取法与原胞的取法与倒倒格子空间格子空间中构成中构成简约布简约布里渊区里渊区(Brillouin zone)的方法相同的方法相同3).WS原胞原胞所包含的所包含的格格点点位于原胞的位于原胞的中央中央。4.4.单胞单胞(unit cell)或
