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1、第第2121章章 二次根式二次根式 21.1 21.1 二次根式（二次根式（1 1）华师版九年级数学上册教学课件全套【学习目标学习目标】1 1经历二次根式概念的发生过程；2 2了解二次根式的概念；3 3理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在 简单情况下求根号内所含字母的取值范围1.1.正数有两个平方根且互为相反数；正数有两个平方根且互为相反数；2.2.0 0有一个平方根就是有一个平方根就是0 0；3.3.负数没有平方根。负数没有平方根。平方根的性质：平方根的性质：正数和正数和0 0都有算术平方根；都有算术平方根；负数没有算术平方根。负数没有算术平方根。知识回顾知识回顾 当当a a是整数时，是
2、整数时， 表示表示a a的算术平方根，即正数的算术平方根，即正数a a的正的平方根；的正的平方根； 当当a a是零时，是零时， 等于等于0 0，它表示零的平方根，也，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根；叫做零的算术平方根； 当当a a是负数时，是负数时， 没有意义。没有意义。问题问题2 2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根.问题问题1 1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.0的算术平方根是0.a的平方根是 .用 (a0)表示.观
3、察与思考观察与思考正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根.问题问题3 3 平方根的性质：平方根的性质：问题问题4 4 所有实数都有算术平方根吗所有实数都有算术平方根吗？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.50米米a米米塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为_米。米。?米米S 圆形的下球体在平面图上的面积为圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为，则半径为_. 如图所示的值表示正方形的面积，如图所示的值表示正方形的面积，则则正方形的边长是正方形的边长是_.b-3b-3表示一些表示一些正数正数的的算术平方根算术平方根你认为所得
4、的各代数式有哪些共同特点？你认为所得的各代数式有哪些共同特点？新课讲授新课讲授二次根式的定义：二次根式的定义：理解要点： 两个必备特征外貌特征：含有“ ”内在特征：被开数a 02.二次根式实质上是非负数的算术平方根.3. a既可以是一个数，也可以是一个式子.1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！知识归纳知识归纳4. （双重非负性）下列各式是二次根式吗下列各式是二次根式吗? ?(m0),(m0),(x,y (x,y 异号异号) )在实数范围内在实数范围内, ,负数没有平方根负数没有平方根判判 断断解析： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其
5、中 +1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy 0时时,怎样化怎样化去去 中的分母中的分母?观察上面各数并思考：（1）你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简二次根式了？ 最最简二次根式简二次根式可以发现这些式子有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 简记为：分母无根号，根号无分母解：解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次根式，需要熟记1100以内非二次根式的化简.如等.典例精析典例精析例例
6、5 51. 1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式利用商的算术平方根的性质化简二次根式. .3. 3. 在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次根在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次根 式化简，再考虑如何化去分母中的根号式化简，再考虑如何化去分母中的根号. .2. 2. 二次根式的除法有两种常用方法：二次根式的除法有两种常用方法：（1 1）利用公式：）利用公式： ；（2 2）把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次）把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次 根式根式. .知识梳理知识梳理4.4.最简二次根式的概念最简二次根式的概念被开方数不含分母；被开方数不含分母；被开方数中不含能
7、开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式5.5.如何化去分母中的根号，请举例说明如何化去分母中的根号，请举例说明可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去分母中的根号本性质化去分母中的根号6.6.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？ 把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质本性质 1.1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。在括号中填写适当的
8、数或式子使等式成立。（ ） a1（ ） 10（ ） 4随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习2.2.化简化简: :解：解：21.3 21.3 二次根式的加减法（一）二次根式的加减法（一）【学习目标学习目标】1 1知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的 加减法运算；加减法运算；2 2经历探索二次根式加减的过程，掌握其计算方经历探索二次根式加减的过程，掌握其计算方 法；法；3 3认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培 养乐学、会学的思想养乐学、会学的思想（1 1）被开方数的因数是整数，因式是整式。）被开方数的因数是整数，
9、因式是整式。（2 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 分母不含根号。分母不含根号。二次根式计算、化简的结果应符合什么要求？二次根式计算、化简的结果应符合什么要求？知识回顾知识回顾自主预习自主预习观察下列二次根式有什么共同特征：观察下列二次根式有什么共同特征：（1 1） ， ，（2 2） ， ， ，每组的二次每组的二次根式的被开根式的被开方数相同方数相同自主预习自主预习 ， ， （3）经过化简后，各经过化简后，各根式被开方数相根式被开方数相同，像这样的几同，像这样的几个二次根式被称个二次根式被称为为同类二次根式同类二次根式. .下列根式又有什么共同特征
10、？下列根式又有什么共同特征？ 二次根式经过化简后，被开方数相同的二二次根式经过化简后，被开方数相同的二次根式次根式, ,就叫做就叫做同类二次根式同类二次根式. .判断同类二次根式的关键是什么？判断同类二次根式的关键是什么？化化: :化成最简二次根式，化成最简二次根式，看看: :看被开方数是否相同看被开方数是否相同, ,根指数也相同根指数也相同 ( (都等于都等于2).2).知识归纳知识归纳典例精析典例精析例例1 1计算：计算：同类二次根式合并：同类二次根式合并： 把根号外系数或字母相加减把根号外系数或字母相加减, ,根指数和被根指数和被开方数不变。开方数不变。注意注意: :不是同类二次根式的二
11、次根式不是同类二次根式的二次根式( (如如 与与 ) )不能合并不能合并知识归纳知识归纳强调：强调：先化简，再合并先化简，再合并典例精析典例精析例例2 2计算：计算：（3 3）合并同类二次根式。）合并同类二次根式。 一化一化二找二找三合并三合并二次根式加减法的步骤：二次根式加减法的步骤：（2 2）找出其中的同类二次根式；）找出其中的同类二次根式；（1 1）将每个二次根式化为最简二次根式；）将每个二次根式化为最简二次根式；知识归纳知识归纳二次根式加减运算的步骤二次根式加减运算的步骤: :(1)(1)把各个二次根式化成最简二次根式把各个二次根式化成最简二次根式(2)(2)把各个同类二次根式合并把各
12、个同类二次根式合并. .如何合并同类二次根式如何合并同类二次根式 与合并同类项类似与合并同类项类似, ,把同类二次根式的系数相加把同类二次根式的系数相加减减, ,做为结果的系数做为结果的系数, ,根号及根号内部都不变。根号及根号内部都不变。知识归纳知识归纳25.3 25.3 二次根式的加减法（二）二次根式的加减法（二）要进行二次根式加减运算要进行二次根式加减运算, ,它们具备什么特征才它们具备什么特征才能进行合并？能进行合并？(1)说出说出 的三个同类二次根式的三个同类二次根式;(2)试举出一组同类二次根式试举出一组同类二次根式.(3)下列各式中哪些是同类二次根式下列各式中哪些是同类二次根式?
13、同类二次根式同类二次根式知识回顾知识回顾下列计算哪些正确，哪些不正确？下列计算哪些正确，哪些不正确？ （不正确不正确）（不正确不正确）（不正确不正确）（正确正确）（不正确）（不正确）解：解：典例精析典例精析例例2 2计算计算观察题目的特点，看能否使用乘法公式观察题目的特点，看能否使用乘法公式整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应。整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应。典例精析典例精析例例3 3计算计算解：解：（1）（2）计算：思考：思考：（1 1）中，先计算什么？后计算什么，）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（最后的目标是什么？（2 2）呢？）呢？典例精析典例精析与有理
14、数、实数运算一样，在混合运算中与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除先乘除，后加减后加减；对于（对于（1 1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；对于（对于（2 2）：先算除，再化简，若有相同的二次根）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式典例精析典例精析解：解： （1 1） 思考：思考： （1 1）中，每一步的依据是什么？）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：第一步的依据是
15、：分配律或多项式乘单项式分配律或多项式乘单项式；第二步的依据是：第二步的依据是：二次根式乘法法则二次根式乘法法则；第三步的依据是：第三步的依据是：二次根式化简二次根式化简典例精析典例精析解： （2）思考：思考： （2 2）中，每一步的依据是什么？）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：第一步的依据是：多项式除以单项式法则多项式除以单项式法则；第二步的依据是：第二步的依据是：二次根式除法法则二次根式除法法则 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公
16、式仍然适用用. .平方差公式：（a+b）（）（a-b）=a2-b2;(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;完全平方公式:知识归纳知识归纳1.1.同类二次根式的定义同类二次根式的定义. .2.2.二次根式加减运算的步骤二次根式加减运算的步骤: :(1)(1)把各个二次根式化成最简二次根式；把各个二次根式化成最简二次根式；(2)(2)把各个同类二次根式合并把各个同类二次根式合并. .3.3.如何合并同类二次根式如何合并同类二次根式 与合并同类项类似与合并同类项类似, ,把同类二次根式的系数相加减把同类二次根式的系数相加减, ,作作为为结果的系数结果的系数, ,根号及根号内部都不变根号及根号内部都不变. . 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. .知识归纳知识归纳1.1. 计算：计算：（1）（2）（3）提示：把二次根式看成把二次根式看成“项项”，（，（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）分）分别可以看成整式乘法中别可以看成整式
