2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（ ）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷则（ ）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（ ）A．4 B．4 C．2 D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1（ ）A．8 B．12 C．16 D．205．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）A． B． C． D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A． B． C． D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（ ）A． B． C． D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+，则f′（2）＝（ ）A．﹣1 B．﹣ C． D．19．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（ ）A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝（ ）A． B．2 C． D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若•＝﹣1（ ）A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（ ）A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝ ．14．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为 ．15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e ．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，CD＝2BD．当取得最小值时 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答一）必考题：共60分17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△FBC，△GCD，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3．2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（ ）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，7，1，B＝{x|0≤x＜}，则A∩B＝{0，6，2}．故选：A．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷则（ ）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，75%，85%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（ ）A．4 B．4 C．2 D．2【分析】先求出iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝2﹣2i，由此能求出|iz+3|．【解答】解：z＝1+i，∴iz+3＝i+i5+3（1﹣i）＝i﹣6+3﹣3i＝8﹣2i，则|iz+3|＝．故选：D．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1（ ）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C7D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝71＝2，AA4⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B．【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）A． B． C． D．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，即ω＝6k+，k∈Z，则令k＝8，可得ω的最小值是，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A． B． C． D．【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，7），3），4），3），6），3），5），5），6），（4，4），5），3），5），6），3），其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（5，4），4），7），4），5），4），则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（ ）A． B． C． D．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣7﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣2﹣1）cos1＞8，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+，则f′（2）＝（ ）A．﹣1 B．﹣ C． D．1【分析】由已知求得b，再由题意可得f′（1）＝0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′（2）．。
