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1、信 号 的 正 交 分 解0.0 信号的正交分解信号的正交分解 0.0.1 矢量的正交分解矢量的正交分解 1. 正交矢量正交矢量 图 0.0-1 两个矢量正交 两矢量V1与V2正交时的夹角为90，不难得到两正交矢量的点积为零， 即 图 0.0-2 矢量的近似表示及误差 2. 非正交矢量的近似表示及误差非正交矢量的近似表示及误差 用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1V2=0。 oV2V1qVec12V2V23. 矢量的分解矢量的分解 图 3.0-3 平面矢量的分解 图 3.0-4 三维空间矢量的分解 上述矢量分解的概念可以推广
2、到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集V1, V2, ，Vn为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合， 即 式中，ViVj=0(ij)，显然第r个分量的系数 0.0.2 信号的正交分解 1. 正交函数 设f (t)和g(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数，现在要用与g(t)成比例的一个函数c g(t)近似地表达 f(t)，其误差函数为 设f(t)、g(t)均为复函数，此时，c可以为实系数，也可能为复系数,下面的式中，右上标出现“*”则代表取共轭复数 定义在(t1，t2)区间的两个函数f(t)和g(t),
3、若满足 则称f(t)和g(t) 在区间(t1，t2)内正交 (1). 实域正交分解如何选择系数c 使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?通常使误差绝对值平方的积分最小,即如果f(t)与g(t)正交应有 c=0, 因此正交的条件为误差函数(2). 复域正交分解上式中，据平方误差的定义知Ee0，式中惟一可供选择的参数为c。为使Ee最小，只有选择c=B，于是有 显然，如果f(t)与g(t)正交应有 c=0,因此正交的条件为：2. 信号的正交展开 设有一函数集g1(t), g2(t)，gN(t)，它们定义在区间(t1, t2)上，如果对于所有的i、 j ( 可取1, 2, ，N )
4、 都有 则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果 则称该函数集为归一化正交函数集。 如果在正交函数集g1(t)， g 2(t)， g n(t)之外，不存在函数g(t)(0）满足 则称此函数集为完备正交函数集。( i =1，2，n)三角函数集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和 虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。（1）. 实域信号的正交展开 用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的线性组合来逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即 如何选择系数使f(t)与近
5、似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?通常使误差最小,即 用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即 这种近似表示所产生的平方误差为： 2. 复域信号的正交展开 同样可以导出，欲使平方误差最小，其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取： 此时的平方误差为 (0.1-1)(0.1-2) 定理 0.0-1 设gr(t)在(t1, t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为gi(t)的线性组合， 即 式中，cr为加权系数，且有 式(0.1
6、-3)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，cr 称为傅里叶系数。 (0.1-3)(0.1-4) 定理 0.0-2 在式(0.1-3)条件下，平方误差Ee=0，由(0.1-2)式有 式(0.1-5)可以理解为：f(t)的能量等于在完备正交函数集中分解的各个分量的能量之和， 即能量守恒定理, 有时也称帕塞瓦尔定理。 (0.1-5)在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则误差越小, 当n时（为完备正交函数集）误差为零。积化和差公式 和差化积公式 0.1 周期信号的连续时间傅里叶级数 0.1.1 三角形式的傅里叶级数 三角函数集cosnt, sinnt|n=0,1,2,是一个正
7、交函数集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2/是各个函数cosnt，sinnt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式： 上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0=1, sin 0=0，而0不计在正交函数集中，故正交三角函数集可具体写为 式中，=2/T称为基波角频率，a0，an和bn为加权系数。 由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-, )区间也是成立的。 可得系数： an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,3, 上式表明，时域周期信号可分解为直流和简单正余弦分量的线性组合，利用傅里叶级数的变换，可以把复杂
8、的问题分解成为简单问题进行分析处理 。 这里， A0为直流分量； A1cos( t+ 1) 称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同； A2cos(2 t+ 2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； Ancos(n t+ n)称为n次谐波。0.2 指数形式的傅里叶级数式中，T=2/为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数f(t)可在区间(t0, t0+T)内用此函数集表示为 表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和， F0 = A0为直流分量。另一证法：0.3 周期信号的频谱总结：以正余弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可分解 为一系列不同频率的正余余弦
9、信号或虚指数信号之和。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将 An(n ) 和 n(n ) 的关系分别画在以 (n ) 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图，因为n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|(n )和 n (n )的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn ，负频率无实际意义。许多场合，周期信号的频谱比时域表达更能反映信号的本质特征。（周期信号对应离散频谱， 周期大小决定频谱的离散间隔）例子：周期矩形脉冲信号 f(t)t0 /2 -T/2 /2T TT/2E（1）三角形式的傅里叶级数(2) 指数形式的傅里叶级数4 /
10、Ann 0 2 2 / n n 0 2 4 / |Fn|n 2 -4 / 0 2 2 / -2 / n n 0 2 2 / Fnn 2 4 / 0 2 4 / -2 / 取样函数定义:是偶函数， 且t0时，Sa(t)=1；当t=k时， Sa(k)=0。 周期信号频谱特点：(1)离散性，频谱由不连续的谱线组成 (2)谐波性，频谱线只出现在基波频率的整数倍频率上(3)收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化， 总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。 当n时，|Fn|0。 Ann 0 2 / 4 / Ann 0 2 / f(t)t0T Et0T f(t)Et0Tf(t)E Ann 0
11、2 / 4 / 0.3 非周期信号的连续时间傅里叶变换 非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号，当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无穷小量d ，而离散频率n变成连续频率 。各频率分量的幅度Fn也趋近于无穷小，但 可望趋于有限值，且为一个连续函数。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令 (单位频率上的频谱） 称F(j)为频谱密度函数。傅立叶傅立叶变换变换傅立叶傅立叶逆变换逆变换F(jF(j )=)=F f f (t (t) ) 称频谱函数称频谱函数 f f (t (t) ) = = F(jF(j ) ) 称为原函数称为原函数F 变换对变换对常用函数的傅里叶变换常用函数
12、的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数 f(t) = e t(t)， 0实数实数2. 双边指数函数双边指数函数 f(t) = et , 0 wF(jw)oa2 3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)4. 冲激函数冲激函数 (t)F (jw)wof (t)to1d(t)5. 常数常数16.6.符号函数符号函数Sgn(Sgn(t t) )7.7.阶跃函数阶跃函数( (t t) )X(w)owR(w)owpd (w)X(w)傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质线性线性奇偶性奇偶性对称性对称性尺度变换尺度变换时移特性时移特性频移特性频移特性卷积定理卷积定理时域微分和积分时域微分和积分频域微分和积分频域微
13、分和积分相关定理相关定理时移特性时移特性表明信号延时了表明信号延时了t t0 0 秒并不会改变其秒并不会改变其频谱的幅度，但是使其相位变化了频谱的幅度，但是使其相位变化了- - t t0 0证明证明: F f (t t0 ) 频移特性频移性的实质是频谱搬移，它是通信理论中频移性的实质是频谱搬移，它是通信理论中信号调制与解调的理论基础。信号调制与解调的理论基础。证明：证明：脉冲调制信号脉冲调制信号脉冲调制信号脉冲调制信号0.4 周期信号的傅立叶变换1、一般周期信号的傅立叶变换 连续周期f(t)傅立叶级数Fn 非周期离散谱 连续非周期f(t)傅立叶变换F(j) 非周期连续谱 连续周期f(t)的傅里
14、叶变换？频移特性频移特性离散的谱线离散的谱线频谱密度是强度为频谱密度是强度为2Fn 的冲激序列的冲激序列上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基频上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基频和它所有谐波频和它所有谐波频率上。傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。周期信号的傅里叶变换由率上。傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。周期信号的傅里叶变换由无数多个冲激函数组成，位于信号的各谐波角频率上，强度为无数多个冲激函数组成，位于信号的各谐波角频率上，强度为 的的 倍。倍。2、周期信号的傅里叶系数与单脉冲信号的傅里叶变换的关系周期信号傅里叶系数从周期信号序列中截取一个周期的单脉冲信号，它的傅立叶变换
15、为反映了非周期信号频谱密度与相应延拓周期信号的傅里叶复系数之间的关系时域周期延拓频域离散或冲激抽样例1：单位冲激周期函数的傅里叶级数与傅里叶变换解解：FSFT例2 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换解：矩形脉冲f0(t)的傅里叶变换矩形脉冲f0(t)的傅里叶级数周期信号f(t) 可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。时域周期延拓频域离散或冲激抽样周期函数的傅里叶周期函数的傅里叶变换的一般公式变换的一般公式0.5 时域抽样及抽样定理取样：所谓“取样”就是利用取样脉冲序列p(t) 从连续信号f(t) 中“抽样” 一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“抽样信号”。 现实中存在的大多都是
16、连续信号(如速度、温度、压力、传真、的照片、电视画面、电影胶片等)，而计算机处理的则是离散信号，对连续信号进行取样就可得到离散信号。这些都表明连续时间信号与离散时间信号之间存在着密切的联系。那么在什么条件下可以用离散时间信号代替连续时间信号不丢失原来信号所包含的信息，最终恢复原来的信号？ 取样过程信号的取样过程信号的取样过程取样器（开关函数）取样器（开关函数）)(tfS) (tf-+-+ 取样模型取样模型)(tf)(tfSfS(t)的频谱函数的频谱函数? 取样的原理方框图取样的原理方框图: :连续信号经取样后变成取样信号，往往还需要再经连续信号经取样后变成取样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。可恢复原连续信号。周期信号)(stfD/A)(nf)(ngA/D)(tgp(t)(tf数字数字滤波器滤波器量化编码量化编码取样信号的傅里叶变换令连续信号f (t)的傅里叶变换为抽样脉冲p(t)的傅里叶变换为抽样后信号fs
