《初等数论与中学数学竞赛课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初等数论与中学数学竞赛课件（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初等数论与中学数学竞赛数学与统计学院数学与统计学院 陈国慧陈国慧一、数论概述n 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0 0。它们合起来叫做整数。（注：现在，自然数的概它们合起来叫做整数。（注：现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和念有了改变，包括正整数和0 0）。n 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算
2、，对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。数论概述n也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。能够无阻碍地进行。n人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比
3、如，整数悉了整数的特性。比如，整数肤肤浅地划分可分为浅地划分可分为两大类两大类奇数和偶数（通常被称为单数、双数）；奇数和偶数（通常被称为单数、双数）；深刻地划分可以分为素数，合数，深刻地划分可以分为素数，合数，“1 1”等等。数论概述n 数论这门学科最初数论这门学科最初就就是从研究整数开始的，是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。性质的学科。n 数论这一数学分支，历史悠久，而且有着强数论这一数学分支，历史悠久，而且有着强大的生命力。数
4、论问题叙述简明，大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”.数论的发展简况n自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。还没有形成完整统一的学科。n 我国古代，许多著名的数学著作中都
5、我国古代，许多著名的数学著作中都有有关于数论关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题时代的数学家对于数论中一个最基本的问题整除性问题就有系统的研究，关于质数、整除性问题就有系统的研究，关于质数、合合数、数、因因数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。n后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到做出
6、过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。完善。n在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本数的基本“材料材料”，要深入研究整数的性质就必，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。题，一直受到数学家的关注。n到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了
7、。n德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做算术探讨，叫做算术探讨，18001800年寄给了法国科学院，年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在好在18011801年自己发表了这部著作。这部书开始了年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。现代数论的新纪元。n在算术探讨中，高斯把过去研究整数性质所在算术探讨中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和进行了推广，把要研究的问题和已
8、知已知的方法进行的方法进行了分类，还引进了新的方法。了分类，还引进了新的方法。数论的基本内容n数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。论、代数数论和几何数论四个部分。n初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的中
9、国古代有名的“中国剩余定理中国剩余定理”，就是初等数，就是初等数论中很重要的内容。论中很重要的内容。n关于关于“中国剩余定理中国剩余定理”:”:n公元公元4-54-5世纪之交的孙子算经中有一个有世纪之交的孙子算经中有一个有趣的问题：趣的问题：“今有物不知其数，三三数之剩二；今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问：物几何？五五数之剩三；七七数之剩二。问：物几何？”秦九韶对同余方程组进行了系统的理论研究，在秦九韶对同余方程组进行了系统的理论研究，在数书九章中创立了称之为大衍求一术的一整数书九章中创立了称之为大衍求一术的一整套算法，即把上述问题的解法推广至盛誉中外的套算法，即把
10、上述问题的解法推广至盛誉中外的“中国剩余定理中国剩余定理”-”-孙子定理。孙子定理。n 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于比
11、如，对于“质数有无限多个质数有无限多个”这个命题，欧拉这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。有关无穷级数的若干知识。n二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了创造性的提出了“三角和方法三角和方法”，这个方法对于，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决陈景润在解决“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”问题中使用的是问题中使用的是解析数论中的筛法。解析数论中的筛法。n代数数论是把整数的概念推广到代数整数
12、的一个代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。n几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几部整点构成的
13、组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。能深入研究。n数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。不清楚它的实际意义。n由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论
14、得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；多研究成果；有有文献报道，现在有些国家应用文献报道，现在有些国家应用“孙子定理孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。散傅立叶变换等。n此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去别是现在由于计算机的发
15、展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。n数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做问题，叫做“皇冠上的明珠皇冠上的明珠”，以鼓励人们去，以鼓励人们去“摘取摘取”。下面简要列出几颗。下面简要列出几颗“明珠明珠”：费尔马大：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全
16、数问题问题、完全数问题n费尔马大定理：起源于三百多年前，挑战人类费尔马大定理：起源于三百多年前，挑战人类3 3个个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在19941994年被安德鲁年被安德鲁怀尔斯攻克。古希腊的丢番图怀尔斯攻克。古希腊的丢番图写过一本著名的写过一本著名的“算术算术”，经历中世纪的愚昧黑，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，暗到文艺复兴的时候，“算术算术”的残本重新被发的残本重新被发现研究。现研究。16371637年，法国业余大数学家费尔马年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de FrematPierre de Fremat）在）在“算术算术”的关于勾股数的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：问题的页边上，写下猜想：a ann+b+bnn=c=cnn是不可能是不可能的（这里的（这里n n大于大于2 2；a a，b b，c c，n n都是非零整数都是非零整数) )。此。此猜想后来就称为费尔马大定理。猜想后来就称为费尔马大定理。 n费尔马还写道费尔
