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1、章末综合测评(二)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A1,B1,2,3,4,C1,D1, , ,【解析】A为递减数列,B为摆动数列,D为有穷数列【答案】C2已知数列an是首项a14,公比q1的等比数列,且4a1,a5,2a3成等差数列,则公比q等于()A.B1C2D2【解析】由已知,2a54a12a3,即2a1q44a12a1q2,所以q4q220,解得q21,因为q1,所以q1.【答案】B3某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小
2、时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是()A33个 B65个 C66个 D129个【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为an则即2.an112n1 ,an2n11,a765.【答案】B4等比数列an的通项为an23n1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列 bn,那么162是新数列bn的()A第5项 B第12项C第13项 D第6项【解析】162是数列an的第5项,则它是新数列bn的第5(51)213项【答案】C5已知数列an的前n项和Snan1(a0),则an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差
3、数列,或者是等比数列D既不可能是等差数列,也不可能是等比数列【解析】Snan1(a0),an即an当a1时,an0,数列an是一个常数列,也是等差数列;当a1时,数列an是一个等比数列【答案】C6等差数列an的公差不为零,首项a11,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是()A90 B100 C145 D190【解析】设公差为d,(1d)21(14d),d0,d2,从而S10100.【答案】B7记等差数列an的前n项和为Sn,若S24,S420,则该数列的公差d()A2 B3 C6 D7【解析】S4S2a3a420416,a3a4S2(a3a1)(a4a2)4d16412,d3.【
4、答案】B8已知数列an满足a15,anan12n,则()A2 B4 C5 D.【解析】依题意得2,即2,数列a1,a3,a5,a7,是一个以5为首项,2为公比的等比数列,因此4.【答案】B9在数列an中,a12,2an12an1,则a101的值为()A49 B50 C51 D52【解析】2an12an1,an1an,数列an是首项a12,公差d的等差数列,a1012(1011)52.【答案】D10我们把1,3,6,10,15,这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如图1所示:图1则第七个三角形数是()A27 B28 C29 D30【解析】法一a11,a23,a36,a410
5、,a515,a2a12,a3a23,a4a34,a5a45,a6a56,a621,a7a67,a728.法二由图可知第n个三角形数为,a728.【答案】B11数列an满足递推公式an3an13n1(n2),又a15,则使得为等差数列的实数()A2 B5 C D.【解析】a15,a223,a395,令bn,则b1,b2,b3,b1b32b2,.【答案】C12在等差数列an中,a100,且a11|a10|,则an的前n项和Sn中最大的负数为()AS17 BS18 CS19 DS20【解析】a100,且a11|a10|,a11a100.S2010(a11a10)0.S192a100且a9248d0,
6、d3.【答案】16已知公差不为零的正项等差数列an中,Sn为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列,若a510,则S5_.【解析】设an的公差为d,则d0.由lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列,得2lg a2lg a1lg a4,aa1a4,即(a1d)2a1(a13d),d2a1d.又d0,故da1,a55a110,da12,S55a1d30.【答案】30三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在等差数列an中,a1a38,且a4为a2和a9的等比中项,求数列an的首项、公差及前n项和【解】设该数列的
7、公差为d,前n项和为Sn.由已知可得2a12d8,(a13d)2(a1d)(a18d),所以a1d4,d(d3a1)0,解得a14,d0或a11,d3,即数列an的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n项和Sn4n或Sn.18(本小题满分12分)(2016唐山模拟)设数列an的前n项和为Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列Sn2是等比数列【解】(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),当n1时,a1212;当n2时,a12a2(a1a2)4,a24;当n3时,a12a23a32(a1a2a3)6,a3
8、8.(2)证明:a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),当n2时,a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1),得nan(n1)Sn(n2)Sn12nanSn2Sn12,Sn2Sn120,即Sn2Sn12.Sn22(Sn12)S1240.Sn120,2.即Sn2是以4为首项,2为公比的等比数列19(本小题满分12分)(2015北京高考)已知等差数列an满足a1a210,a4a32.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b2a3,b3a7,问:b6与数列an的第几项相等?【解】(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a32,所以d2.又因为a1a210,所以2a1d
9、10,故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2,)(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a38,b3a716,所以q2,b14.所以b64261128.由1282n2得n63,所以b6与数列an的第63项相等20(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列an,bn(bn0,nN*),满足anbn1an1bn2bn1bn0. 【导学号:05920083】(1)令cn,求数列cn的通项公式;(2)若bn3n1,求数列an的前n项和Sn.【解】(1)因为anbn1an1bn2bn1bn0,bn0(nN*),所以2,即cn1cn2.所以数列cn是以首项c11,公差d2的等差数列,故cn2n1
10、.(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1,于是数列an的前n项和Sn130331532(2n1)3n1,3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n.相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n,所以Sn(n1)3n1.21(本小题满分12分)(2015四川高考)设数列an(n1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn2ana1,且a1,a21,a3成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn1|成立的n的最小值【解】(1)由已知Sn2ana1,有anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2),所以q2.从而a22a
11、1,a32a24a1.又因为a1,a21,a3成等差数列,即a1a32(a21),所以a14a12(2a11),解得a12.所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列故an2n.(2)由(1)得,所以Tn1.由|Tn1|,得1 000.因为295121 0001 024210,所以n10.于是使|Tn1|成立的n的最小值为10.22(本小题满分12分)在等差数列an中,已知公差d2,a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式;(2)设bna,记Tnb1b2b3b4(1)nbn,求Tn.【解】(1)由题意知(a1d)2a1(a13d),即(a12)2a1(a16),解得a12,所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnan(n1),所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)