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1、难点题型拔高练(五)1函数f(x)2sin(0)的图象在0,1上恰有两个极大值点,则的取值范围为()A2,4B.C. D.解析:选C法一:由函数f(x)在0,1上恰有两个极大值点,及正弦函数的图象可知,则.法二:取2,则f(x)2sin,由2x2k,kZ,得xk,kZ,则在0,1上只有x,不满足题意,排除A、B、D,故选C.2过点P(2,1)作抛物线x24y的两条切线,切点分别为A,B,PA,PB分别交x轴于E,M两点,O为坐标原点,则PEM与OAB的面积的比值为()A. B.C. D.解析:选C设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令x1x2,则y1,y2,由yx2得yx,则直线PA的方
2、程为yy1x1(xx1),即yx1(xx1),则E,将P(2,1)代入得x1y110,同理可得直线PB的方程为x2y210,M,直线AB的方程为xy10,则AB过定点F(0,1),SAOB|OF|(x2x1)(x2x1),SPEM1(x2x1),.3在四面体ABCD中,ADDBACCB1,则当四面体的体积最大时,它的外接球半径R_.解析:当平面ADC与平面BCD垂直时,四面体ABCD的体积最大,因为ADAC1,所以可设等腰三角形ACD的底边CD2x,高为h,则x2h21,此时四面体的体积V2xh2x(1x2),则Vx2,令V0,得x,从而h,则CDAB,故可将四面体ABCD放入长、宽、高分别为
3、a,b,c的长方体中,如图,则解得a2c2,b2,则长方体的体对角线即四面体ABCD的外接球直径,(2R)2a2b2c2,R.答案:4已知椭圆1,过点P(1,1)作斜率互为相反数的两条不同直线l1,l2,设l1与椭圆交于A,B两点,l2与椭圆交于C,D两点(1)若P(1,1)为AB的中点,求直线l1的方程;(2)记,求的取值范围解:(1)易知直线l1的斜率存在且不为0,设直线AB的斜率为k,则其方程为y1k(x1),代入x22y24中,得x22kx(k1)240,(12k2)x24k(k1)x2(k1)240.判别式4(k1)k24(2k21)2(k1)248(3k22k1)0.设A(x1,y
4、1),B(x2,y2),则AB的中点为P(1,1),(x1x2)1,则k.直线l1的方程为y1(x1),即x2y30.(2)由(1)知|AB|x1x2|.由题可得直线l2的方程为y1k(x1)(k0),同理可得|CD|, (k0),211.令t3k,则g(t)1,t(,2 2,)易知g(t)在(,2 ,2,)上单调递减,2g(t)1或1g(t)2,故221或122,即.5已知函数f(x)xexa(ln xx),aR.(1)当ae时,判断f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围解:(1)f(x)的定义域为(0,),当ae时,f(x),令f(x)0,得x1,f(x)在(0,
5、1)上为减函数;在(1,)上为增函数(2)记tln xx,则tln xx在(0,)上单调递增,且tR.f(x)xexa(ln xx)etat,令g(t)etat.f(x)在x0上有两个零点等价于g(t)etat在tR上有两个零点当a0时,g(t)et,在R上单调递增,且g(t)0,故g(t)无零点;当a0时,g(t)eta0,g(t)在R上单调递增,又g(0)10,ge10,故g(t)在R上只有一个零点;当a0时,由g(t)eta0可知g(t)在tln a时有唯一的一个极小值g(ln a)a(1ln a)若0ae,g(t)极小值a(1ln a)0,g(t)无零点;若ae,g(t)极小值0,g(t)只有一个零点;若ae,g(t)极小值a(1ln a)0,而g(0)10,由y在xe时为减函数,可知当ae时,eaaea2,从而g(a)eaa20,g(x)在(0,ln a)和(ln a,)上各有一个零点综上,当ae时,f(x)有两个零点,即实数a的取值范围是(e,)