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1、专题47 两个基本计数原理（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有种不同的方法完成这件事共有种不同的方法【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理2两个计数原理的区别与联系原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成
2、一件事的方法种数而言区别一每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏考向一 分类加法计数原理（1）分类加法计数原理的特点：根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准完成这件事的任何一种方法必须属于某一类（2）使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则（3）应用分类加法计
3、数原理要注意的问题：明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏典例1 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有A16种 B12种 C9种 D6种【答案】B【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组
4、为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法.因此，不同的放球方法有2+2+2+2+2+2=12种.故选B.【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用，分六种情况讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类加法计数原理求解即可.解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，
5、在应用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.1完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有A5种B4种C9种D20种考向二 分步乘法计数原理应用分步乘法计数原理要注意的问题：明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能
6、完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏典例2 某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同走法的种数是A8 B7C11 D12【答案】D【解析】从一个门进有4种选择，从另一个门出有3种选择，共有43=12(种)走法【名师点睛】对于分步乘法计数原理：要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件对完成各步的方法数要准确确定典例3 现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有A36种 B48种C24种 D30种【答案
7、】B【解析】由题意可知，本题是一个分步计数的问题.先给右边的一块地种植，有种结果；再给中间上面的一块地种植，有种结果；再给中间下面的一块地种植，有种结果；最后给左边的一块地种植，有种结果.根据分步计数原理可知共有种结果.故选B.【名师点睛】本题主要考查的知识点是分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏.需要先给右边的一块地种植，有种结果，再给中间上面的一块地种植，有种结果，再给中间下面的一块地种植，有种结果，最后给左边的一块地种植，有种结果，相乘即可得到结果.2高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，
8、甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有A16种B18种C37种D48种考向三 两个计数原理的综合应用（1）利用两个原理解决涂色问题解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题（2）利用两个原理解决集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有个，真子集有个典例4 一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等)，那么，这样
9、的三位数共有A240个 B249个C285个 D330个【答案】C【解析】因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，所以当十位数字是0时有99=81种结果，当十位数字是1时有88=64种结果，当十位数字是2时有77=49种结果，当十位数字是3时有66=36种结果，当十位数字是4时有55=25种结果，当十位数字是5时有44=16种结果，当十位数字是6时有33=9种结果，当十位数字是7时有22=4种结果，当十位数字是8时有1种结果，所以共有816449362516941=285种结果【名师点睛】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略：(1)与数字有关的问题可分类解决，每类中又可分步
10、完成，也可以直接分步解决(2)与几何有关的问题可先分类，再分步解决(3)涂色问题可按颜色的种数分类完成，也可以按不同的区域分步完成3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是A420B210C70D351四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著红楼梦、三国演义、水浒传、西游记（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为ABCD2一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明
11、，那么这个教室能照明的方法有种A24B25C31D323从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有A8种 B12种C16种 D20种4某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖，则他获得奖次的不同情形种数为A9B12C18D245把2支相同的晨光签字笔,3支相同英雄钢笔全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有A24种 B28种C32种 D36种6用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个
12、区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方案共有A420种 B180种C64种 D25种7某班上午有五节课,分别安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是A16 B24C8 D128如果一个三位数abc同时满足且，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是A204 B258 C285 D2369几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落已知（）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，；（）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，；（）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，；（）丁在下落的过程中
13、依次撞击到树枝，；（）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有A种 B种C种 D种10现有五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有_种.11已知a3,4,5，b1,2,7,8，r8,9，则方程(xa)2(yb)2=r2可表示不同圆的个数为_个12某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有_种不同的选法.13西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有_种涂色方法14将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为_15王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有_种不同的带法；（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有_种不同的带法；（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有_种不同的带法.1(高考新课标卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A24B18
