《《流体力学与流体机械》教学课件—07理想流体动力学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《流体力学与流体机械》教学课件—07理想流体动力学（135页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章第七章 理想流体动力学理想流体动力学 实实际际流流体体都都粘粘性性，在在流流体体力力学学研研究究中中，为为了了简简化化问问题题，引引进进了了理理想想流流体体这这一一假假设设的的流流体体模型，理想流体的粘度为模型，理想流体的粘度为0 0。 在在实实际际分分析析中中，如如果果流流体体粘粘度度很很小小，且且质质点点间间的的相相对对速速度度又又不不大大时时，把把这这类类流流体体看看成成是是理想流体。理想流体。 第一节第一节第一节第一节 速度势函数和流函数速度势函数和流函数速度势函数和流函数速度势函数和流函数一、速度势函数一、速度势函数在无旋流动中，每一点处的旋转角速度都为零，在无旋流动中，每一点
2、处的旋转角速度都为零，即即或或由由数学分析数学分析知，上面三个微分方程式的存在正是知，上面三个微分方程式的存在正是 成为某一函数成为某一函数(x, y, z)全微分全微分的充分必要条件。的充分必要条件。即即 函数函数的全微分为的全微分为 比较两式，得到比较两式，得到 函数函数(x, y, z)称为称为速度势函数，速度势函数，无旋流动又称为有无旋流动又称为有势流动势流动 。当流动当流动有势有势时，流体力学的问题将得到很大的时，流体力学的问题将得到很大的简简化化。不必直接求解三个速度分量，而只需要先求。不必直接求解三个速度分量，而只需要先求出一个速度势函数出一个速度势函数，从而可以得到速度分布，从
3、而可以得到速度分布vx、 vy 、 vz ，继而再，继而再 依据伯努利方程得到压强分布。依据伯努利方程得到压强分布。 1.1.势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影2.存在势函数的流动一定是无旋流动存在势函数的流动一定是无旋流动3.3.等势面与流线正交等势面与流线正交4.4.不可压缩流体中势函数是调和函数不可压缩流体中势函数是调和函数 速度势函数的特性速度势函数的特性特性特性1证明证明：任意曲线：任意曲线s s上一点上一点M(x, y, z)M(x, y, z)处速度分量分别处速度分量分别为为v vx x、 v vy y 、 v vz z 。取势函数的
4、方向导数。取势函数的方向导数势函数沿任意方向的导数值势函数沿任意方向的导数值等于该方向上的速度分量等于该方向上的速度分量特性特性2证证明明：设设对对某某一一流流动动，存存在在势势函函数数(x, (x, y, y, z) z)，流流动动的的角速度分量角速度分量类似可推出类似可推出代入代入(x, y, z)，有，有流动无旋的充分必要条件是流场有速度势函数存在。流动无旋的充分必要条件是流场有速度势函数存在。因此，存在速度势函数的流动必定无旋。因此，存在速度势函数的流动必定无旋。特性特性3等等势势面面：速速度度势势函函数数取取相相同同值值的的点点构构成成空空间间曲曲面面，即即(x,y,z)=C证明证明
5、：在等势面上取一点：在等势面上取一点O，并在该面上过，并在该面上过O任任取取一一微微元元线线段段矢矢量量 ，该该点点处速度处速度等势面上等势面上d=0，得证。，得证。特性特性4调和函数调和函数:满足拉普拉斯满足拉普拉斯（Laplace）方程的函数。方程的函数。 Laplace 方程方程：证明证明：不可压缩流体的连续性方程为：不可压缩流体的连续性方程为对于有势流动对于有势流动得到得到例例1. 1. 有一个速度大小为有一个速度大小为v( v(定值定值) )，沿，沿x x轴方向的均匀流动，轴方向的均匀流动，求它的速度势函数。求它的速度势函数。解：解： 判断流动是否有势判断流动是否有势 流动无旋，即有
6、势流动无旋，即有势, , 有有积分，得到积分，得到因因常数常数C C对对所代表的流场无影响，令所代表的流场无影响，令C=0C=0，最后速度势函数为最后速度势函数为 虚线为等势线解：解：因此，流动无旋，即有势。因此，流动无旋，即有势。二、流函数二、流函数平面流动中，不可压缩流体的连续性方程为平面流动中，不可压缩流体的连续性方程为或或由由数学分析数学分析知，上式正是知，上式正是 成为某一函成为某一函数数 (x, y)全微分全微分的充分必要条件。的充分必要条件。 连续的连续的平面平面流动存在流函数。应说明，空间三流动存在流函数。应说明，空间三维流动维流动没有没有流函数流函数即即 函数函数 的全微分为
7、的全微分为 比较两式，得到比较两式，得到 函数函数 (x, y)称为称为流函数流函数。1.1.沿同一流线流函数值为常数沿同一流线流函数值为常数2.2.通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值。线上的流函数的差值。3.在有势流动中流函数也是一调和函数在有势流动中流函数也是一调和函数流函数的特性流函数的特性特性特性1证明：证明：在流场中任取一流线在流场中任取一流线 ，则流线上任一点的速度与流则流线上任一点的速度与流线相切。微元线段线相切。微元线段 矢量矢量 与与对应的速度矢量对应的速度矢量 之间的关系之间的关系式为式为 流线微分方程流线微分方程
8、证明了沿一条流线各点的流函数值相等。证明了沿一条流线各点的流函数值相等。流函数值相等的点流函数值相等的点可连成一条流线可连成一条流线特性特性2设设1、2是是两两条条相相邻邻流流线线，作作其其间间一一曲曲线线AB，要要求证明通过求证明通过AB两点间单位厚度的流量两点间单位厚度的流量q=2-1。取微元线段取微元线段 ，过微元线段的速度为，过微元线段的速度为 ，则单位厚度的微元流量则单位厚度的微元流量dq的表达式为的表达式为证明：证明：通过线段通过线段AB的流量为的流量为特性特性3证明证明：对于平面势流，有：对于平面势流，有代入代入得到得到即即解：解： 将将A A点坐标代入点坐标代入得到得到因此通过
9、因此通过A A点的流线方程为点的流线方程为同理得到同理得到B B点的流线方程依然为点的流线方程依然为因此，通过两点连线的流量因此，通过两点连线的流量q=0q=0。三、流函数和势函数的关系三、流函数和势函数的关系平面有势流动的流函数和势函数的关系为平面有势流动的流函数和势函数的关系为平面流动中，平面上的平面流动中，平面上的等势线与流线正交等势线与流线正交。平面上若干等势平面上若干等势线与流线构成了正线与流线构成了正交曲线网交曲线网，称为，称为流流网网。四、极坐标下的势函数和流函数四、极坐标下的势函数和流函数平面直角坐标系与极平面直角坐标系与极坐标系的关系坐标系的关系：极坐标下的速度和势极坐标下的
10、速度和势函数、流函数的关系函数、流函数的关系为为或或例例4. 4. 某定常平面流动有某定常平面流动有vx=ax，vy=-ay，a为常数。求为常数。求这一流动的流函数和势函数，并绘制流网。这一流动的流函数和势函数，并绘制流网。解：解：因为因为满足连续性方程，流动存在，满足连续性方程，流动存在，存在流函数存在流函数。令令 =C=C，得流线方程：，得流线方程：因为因为流动无旋，流动无旋，存在速度势函数存在速度势函数。令令=C=C，得等势线方程：，得等势线方程：=C=C复势与复速度复势与复速度复势与复速度复势与复速度：不可压缩平不可压缩平面势流的势面势流的势函数和流函函数和流函数均为调和数均为调和函数
11、函数平面流动平面流动的势函数的势函数和流函数和流函数互为共轭互为共轭势、流函数为势、流函数为共轭的调和函共轭的调和函数，满足柯西数，满足柯西-黎曼条件黎曼条件因此，可把势函数因此，可把势函数作为某一复变函数的实部，作为某一复变函数的实部，流函数流函数 作为虚部，即作为虚部，即W(z)称为称为复势复势，自变量，自变量z=x+iy。复速度：复速度：复速度的模：复速度的模：速度的绝对值速度的绝对值复速度的三角函数复速度的三角函数式和指数式：式和指数式：OvxvyVvx-ivyvx+ivyW(z)共轭复变数共轭复变数: :Ovxvyvx-ivyvx+ivyV依据共轭复变数的运算方依据共轭复变数的运算方
12、法可以求出流场中各点的法可以求出流场中各点的速度速度v v。复势或复速度复势或复速度速度场速度场一一 均匀流均匀流二二 点源和点汇点源和点汇三三 点涡点涡第二节第二节第二节第二节 几种基本的平面势流几种基本的平面势流几种基本的平面势流几种基本的平面势流一一 、平面均匀流、平面均匀流平面均匀流平面均匀流指流场中各点速度的大小与方向都相同指流场中各点速度的大小与方向都相同的平面流动。的平面流动。设流动速度大小为设流动速度大小为v v，速度方向与，速度方向与xoyxoy坐标系的坐标系的x x轴轴正向一致正向一致, ,速度势函数速度势函数流函数流函数等势线方程等势线方程流线方程流线方程复势复势推导均匀
13、流的速推导均匀流的速度方向与度方向与x轴夹轴夹角为角为时的相关时的相关函数函数均匀流示意图均匀流示意图二二、点源和点汇、点源和点汇点源点源：流体从某点向四周均匀：流体从某点向四周均匀径向流出径向流出的流动，该的流动，该点称为点称为源点源点。点汇点汇：流体从四周均匀：流体从四周均匀径向汇入径向汇入某点的流动，该点某点的流动，该点称为称为汇点汇点。将源点或汇点置于坐标原点。将源点或汇点置于坐标原点。根据流体的根据流体的连续性连续性条件，不可压缩流体通过任一圆条件，不可压缩流体通过任一圆柱面的流量相等。所以通过半径为柱面的流量相等。所以通过半径为r r的的单位长度单位长度圆柱圆柱面流出或流入的流量为
14、面流出或流入的流量为得到速度分布为得到速度分布为q是流出或流入的流量，称为点源或点汇的是流出或流入的流量，称为点源或点汇的强度强度。对于对于点源点源q前取前取+号，点汇号，点汇q前取前取-号号。速度势函数速度势函数流函数流函数等势线方程等势线方程流线方程流线方程平面直角坐标系平面直角坐标系下位于下位于坐标原点坐标原点的点源与点汇的点源与点汇的势函数与流函数：的势函数与流函数：当源点或汇点不在平面直角坐标系的原点而当源点或汇点不在平面直角坐标系的原点而在平面上在平面上点点(x (x0 0, y, y0 0) )处，有处，有源点和汇点在坐标原点的复势源点和汇点在坐标原点的复势源点和汇点在源点和汇点
15、在z z0 0点的复势点的复势三、三、 点涡点涡 点涡点涡：平面上流体质点沿：平面上流体质点沿同心圆同心圆的轨迹运动，的轨迹运动，且其速度大小与且其速度大小与半径半径r r成反比成反比的流动。的流动。速度环量速度环量 =2rv速度分布为速度分布为0，逆时针转动；逆时针转动；0，表示源q0，表示汇微元段d的源（汇）在P点处的势函数和流函数分别为整个OA段的源（汇）在P点处的势函数和流函数分别为均匀流在P点处的势函数和流函数分别为势流叠加后的流场的势函数和流函数分别为现需要确定q()使得上述函数满足物面和无穷远处的两个边界条件。其中，由于无穷远处源（汇）的速度为零，自动满足无穷远处边界条件，而要满
16、足物面边界条件，需进行计算。方法1：物面上的流函数值等于零，即求解方程用数值方法将积分表达式转换为代数式求近似解。方法2：因为有同样，利用数值解法求近似解。当源（汇）强度q()确定后，就可以得到势函数、流函数，继而计算出任意轴对称的零攻角绕流场的速度分布和压强分布。第六节第六节 理想流体的旋涡运动理想流体的旋涡运动 如流体微团的旋转角速度如流体微团的旋转角速度0 0，则是，则是有旋运动有旋运动，也称为也称为旋涡运动旋涡运动。 理想流体的流动可以是有势的，也可以是有旋的。理想流体的流动可以是有势的，也可以是有旋的。但粘性流体的流动一般是有旋的但粘性流体的流动一般是有旋的。 第六第六- -八节八节讲述理想不可压缩流体的旋涡运动，涉讲述理想不可压缩流体的旋涡运动，涉及的基本概念及定理有：涡线、涡管和涡束；涡及的基本概念及定理有：涡线、涡管和涡束；涡通量和速度环量；斯托克斯定理；汤姆逊定理；通量和速度环量；斯托克斯定理；汤姆逊定理；亥姆霍兹定理；毕奥亥姆霍兹定理；毕奥- -沙伐尔公式；卡门涡街。沙伐尔公式；卡门涡街。一一、涡线涡线、涡管涡管和涡束和涡束 1. 1. 涡涡 线线定义：定义：涡线是
