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1、第5章 参数估计1第第5 5章章 参数估计参数估计目录目录5.1 5.1 参数估计的一般原理参数估计的一般原理5.2 5.2 单总体均值与比例的区间估计单总体均值与比例的区间估计5.35.3 两总体均值之差与比例之差的区间估计两总体均值之差与比例之差的区间估计5.45.4 总体方差和方差比的区间估计总体方差和方差比的区间估计5.55.5 样本量的确定样本量的确定25.1 5.1 参数估计的一般原理参数估计的一般原理点估计点估计点估计（点估计（point estimatepoint estimate）是直接将样本统计量的某个取值作为总体是直接将样本统计量的某个取值作为总体参数的估计值参数的估计值
2、。例如用样本均值估计总体均值，用样本中的比例估计总体的比例，用样本方差估计总体方差。不足：不足：样本随机性可能导致估计值偏离总体参数，同时估计的可靠性无法衡量35.1 5.1 参数估计的一般原理参数估计的一般原理区间估计区间估计4X99% 的样本- 2.58x+2.58x90%的样本-1.645x+1.645x95% 的样本-1.96x+1.96x5.1 5.1 参数估计的一般原理参数估计的一般原理区间估计区间估计置信区间（置信区间（confidence intervalconfidence interval）是区间估计中得到的区间范围。是区间估计中得到的区间范围。置置信水平（信水平（conf
3、idence levelconfidence level）是将构造置信区间的步骤多次重复，总是将构造置信区间的步骤多次重复，总体参数真值被包括在置信区间中的比例，也称为体参数真值被包括在置信区间中的比例，也称为置信度置信度或或置信系数置信系数（confidence coefficientconfidence coefficient）。5以总体均值为例，置信区间如下图所示：/2/21 5.1 5.1 参数估计的一般原理参数估计的一般原理评价估计量评价估计量6P P( ( X X ) )X X 无偏无偏有偏有偏5.1 5.1 参数估计的一般原理参数估计的一般原理评价估计量评价估计量75.2 5.2
4、 单总体均值与比例的区间估计单总体均值与比例的区间估计8单总体均值与比例单总体均值与比例的区间估计的区间估计均值均值总体标准差总体标准差已知已知总体标准差总体标准差比例比例5.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计95.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计101 - /2 /25.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计110.900.051.6450.950.0251.960.980.012.330.990.0052.585.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计应用建议应用建议: :如果总体服从正态分布，置信区间是准确的。如果总体不服
5、从正态分布，置信区间是近似的，近似的程度依赖于总体分布和样本容量。在绝大部分应用中，样本容量n30已经足够。当总体分布不服从正态分布但大致对称时，样本容量需要大于等于15。5.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计实例实例135.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计14思考：思考：以银桥品牌旗下的某一款酸奶为例，规定出厂时每百克产品中活性益生菌含量，然而并不是每一杯酸奶的益生菌含量与出厂标准一致。假设益生菌添加的标准差为6亿CFU。现在抽取42杯酸奶组成一个随机样本，样本的益生菌每百克平均含量为99.023亿CFU，求95%置信水平下该款酸奶活性益生菌含量的置信区
6、间5.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计155.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计应用建议应用建议: :如果总体服从正态分布，置信区间是准确的，适用于任何样本容量。如果总体不服从正态分布，置信区间是近似的，近似的程度依赖于总体分布和样本容量。在绝大部分应用中，样本容量n30已经足够。当总体分布不服从正态分布但大致对称时，需要样本容量n15。如果总体分布严重偏斜或者包含异常点，需要将样本容量增加到50或者更大。5.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计实例实例17525954424450424855546055446262574546435641
7、564471394867645.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计实例实例185.2 5.2 单总体均值的区间估计单总体均值的区间估计19思考：思考：继续以检验银桥酸奶益生菌含量为例，若抽取8杯酸奶组成一个随机样本，样本的益生菌每百克平均含量为99.023亿CFU，标准差为6.4亿CFU，根据这个样本求总体均值95%的置信区间5.2 5.2 单总体比例的区间估计单总体比例的区间估计205.2 5.2 单总体比例的区间估计单总体比例的区间估计实例实例215.2 5.2 单总体比例的区间估计单总体比例的区间估计22思考：思考：以银桥酸奶益生菌含量为例，工厂将每百克益生菌含量小于等
8、于95亿CFU的产品定义为不合格品，工厂希望通过抽检，了解产品的不合格率，在本次抽检中抽取了100杯酸奶，其中不合格的比例为7%，求总体酸奶不合格率在95%置信水平下的置信区间5.3 5.3 两总体均值与比例之差的区间估计两总体均值与比例之差的区间估计23两总体均值两总体均值与比例之差与比例之差的区间估计的区间估计均值均值独立抽样独立抽样标准差标准差已知已知标准差标准差未知未知匹配样本匹配样本大样本大样本小样本小样本比例比例5.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计通过抽取样本对两总体均值差异进行区间估计时，不同的抽样方式对应不同的区间估计方法。抽样方式有：独立抽样独立抽
9、样与匹配样本匹配样本。独立抽样下的样本叫做独立简单随机样本（独立简单随机样本（independent simple independent simple random samplesrandom samples），是指从两个总体中独立抽出两个样本，即一，是指从两个总体中独立抽出两个样本，即一个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立。个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立。匹配样本（匹配样本（matched samplematched sample）不同于独立抽样不同于独立抽样, ,一个样本中的数据一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应。与另一个样本中的数据相对应。245.3 5.3
10、两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计独立抽样独立抽样255.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计独立抽样独立抽样265.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计实例实例27第一次989594989193978993889283100908897第二次9796901009292969192899186958786945.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计实例实例285.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计独立抽样独立抽样29银桥公司高层想了解该款酸奶在市场中的竞品情况。通过调查发现，市场中银
11、桥酸奶的最大竞品是伊利旗下的畅轻酸奶。银桥若想要进一步比较银桥酸奶与畅轻酸奶益生菌含量差异，进行独立抽样。已知总体标准差分别为6.4亿CFU，4.3亿CFU。分别抽取41杯银桥酸奶和39杯畅轻酸奶，样本中每百克益生菌含量分别为98.64亿CFU，99.72亿CFU。两品牌酸奶益生菌含量均值之差在95%置信水平下的置信区间5.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计独立抽样独立抽样305.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计实例实例【例】某公司生产的同一产品分别投入了A,B两地的两个市场，为了进一步推广产品，需要确定市场营销策略，这两个市场是否应该采取
12、相同的营销策略。公司高层认为营销策略是否一致与使用产品的消费者差异相关，主要取决于消费者的收入差异。为了调查两地市场消费者收入的差异，我们分别从两地市场的消费者中抽取7个，9个消费者，收入如表所示。假设两地市场总体消费者收入都服从正态分布，且方差相等，试求两市场消费者收入差异的置信水平为95%的置信区间。31A68424893964250141324087635379B46875189786380151426941838967378668955.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计实例实例325.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计独立抽样独立抽
13、样335.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计实例实例【例】有报告显示，手机APP在日常生活中扮演着越来越不可或缺的角色。每个APP都有其特定的功能，每个人手机中下载的APP数量也有差异。为了探究男性和女性手机中下载的APP数量是否有差异，随机选择两个分别包含10名男性，8名女性的样本，如表5-5所示。假设总体服从正态分布且方差未知，求男性与女性手机APP下载数量差异的置信水平为95%的置信区间。34男29262434221827321633女32173538312941375.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计实例实例355.3 5.3 两总
14、体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计独立抽样独立抽样365.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计匹配样本匹配样本独立样本与匹配样本的差异独立样本与匹配样本的差异若有两种可以组装同一类型产品的机器，需要比较两种机器组装产品所需时间的差异。若采用独立抽样独立抽样，随机分配两批工人分别使用两种机器去组装产品。若采用匹配样本匹配样本，则指定同一批工人分别用两种机器组装同一种产品，这样得到的两种机器组装产品的数据就是匹配数据。匹配样本有效消除了在独立抽样下由于前后参与组装工人不一致，由匹配样本有效消除了在独立抽样下由于前后参与组装工人不一致，由工人个体差异带来的组装产品时
15、间的差异。工人个体差异带来的组装产品时间的差异。375.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计匹配样本匹配样本385.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计实例实例【例】某大学想要了解19年毕业的学生中，研究生和本科生起薪均值的差异，起薪可能由于专业不同而差异很大，为了消除由专业差异引起的均值差异，选取相同专业的35对随机样本，样本差值的均值为1365，35对随机样本中对应数据差值的标准差为642，求研究生和本科生起薪均值的差异在置信水平为95%时的置信区间。若选取相同专业的10对随机样本，均值与标准差不变的情况下，求起薪均值差异在置信水平为95%时
16、的置信区间395.3 5.3 两总体均值之差的区间估计两总体均值之差的区间估计实例实例405.3 5.3 两总体比例之差的区间估计两总体比例之差的区间估计415.3 5.3 两总体比例之差的区间估计两总体比例之差的区间估计425.3 5.3 两总体比例之差的区间估计两总体比例之差的区间估计实例实例435.3 5.3 两总体比例之差的区间估计两总体比例之差的区间估计产品不合格率也是产品质量的一部分体现。若银桥高层管理者想要了解产品与竞品畅轻不合格率的差异，从而提高自身产品质量。分别抽取41杯银桥酸奶和39杯畅轻酸奶，样本的不合格率分别为7%，1.5%，求两产品在95%置信水平下不合格率差异的置信区间。445.4 5.4 单总体方差的区间估计单总体方差的区间估计455.4 5.4 单总体方差的区间估计单总体方差的区间估计46 1-1- 总体方差的总体方差的1-1- 的置信区间的置信区间5.4 5.4 单总体方差的区间估计单总体方差的区间估计实例实例【例】投资回报率常常用来衡量投资风险，为了了解某国际知名投行的投资风险状况，随机调查了其经手的26个投资项目的年投资回报率，如下表所示。假设该投
