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1、第四章 数列第2讲 等比数列及其前n项和一、必记2个知识点1等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为q.(2)等比中项:如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式:ana1qn1.(2)前n项和公式:Sn二、必明2个易误区1在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2在运用等比数列的前n项和公式时,必须对q1与q1分类讨论,防止因忽略q1这一特殊情形导致解题
2、失误三、必会3个方法1等比数列的三种判定方法(1)定义:q(q是不为零的常数,nN*)an是等比数列(2)通项公式:ancqn1(c、q均是不为零的常数,nN*)an是等比数列(3)等比中项法:aanan2(anan1an20,nN*)an是等比数列2等比数列的常见性质(1)若mnpq2k(m,n,p,q,kN*),则amanapaqa;(2)若数列an、bn(项数相同)是等比数列,则an、a、anbn、(0)仍然是等比数列;(3)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,ank,an2k,an3k,为等比数列,公比为qk;(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,则
3、Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列,其公比为qn,当公比为1时,Sn,S2nSn,S3nS2n不一定构成等比数列3求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a1与q,在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组,是解题的关键(2)分类讨论思想:在应用等比数列前n项和公式时,必须分类求和,当q1时,Snna1;当q1时,Sn;在判断等比数列单调性时,也必须对a1与q分类讨论考点一等比数列的基本运算1.(2013承德一模)在等比数列a
4、n中,a37,前3项之和S321,则公比q的值为()A1B C1或 D1或解析:选C根据已知条件得3.整理得2q2q10,解得q1或q.2(2013全国卷)设首项为1,公比为的等比数列an的前n项和为Sn,则()ASn2an1 BSn3an2 CSn43an DSn32an解析:选D由等比数列前n项和公式Sn,代入数据可得Sn32an. 类题通法1对于等比数列的有关计算问题,可类比等差数列问题进行,在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法,同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用2在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论考点二等比数列的判定与证明典例已知数列an的前
5、n项和为Sn,且anSnn.(1)设cnan1,求证:cn是等比数列;(2)求数列an的通项公式解(1)证明:anSnn,an1Sn1n1.得an1anan11,2an1an1,2(an11)an1,.首项c1a11,又a1a11,a1,c1.又cnan1,故cn是以为首项,为公比的等比数列(2)由(1)知cnn1nan1n. 类题通法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可针对训练已知数列an的前n项和Sn2an1,求证:an是等比数列,并求出通项公式证明:Sn2an1,Sn12an11
6、.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an,an12an.又S12a11a1,a110.又由an12an知an0,2.an是以1为首项,2为公比的等比数列an12n12n1.考点三等比数列的性质典例(1)在等比数列中,已知a1aa15243,则的值为()A3 B9 C27 D81(2)(2014长春调研)在正项等比数列an中,已知a1a2a34,a4a5a612,an1anan1324,则n()A11 B12 C14 D16解析(1)设数列an的公比为q,a1aa15243,a1a15a,a83,a9.(2)设数列an的公比为q,由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12
7、,可得q93,an1anan1aq3n3324,因此q3n68134q36,所以n14,故选C.答案(1)B(2)C类题通法等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类:通项公式的变形,等比中项的变形,前n项和公式的变形根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口针对训练1设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S312,则S9S3等于()A12 B23C34 D13解析:选C由等比数列的性质知S3,S6S3,S9S6仍成等比数列,于是(S6S3)2S3(S9S6),将S6S3代入得.课后作业试一试1(2013江西高考)等比数列x,3x3,6x6,的第四项等于()A24
8、B0 C12 D24解析:选A由等比数列的前三项为x,3x3,6x6,可得(3x3)2x(6x6),解得x3或x1(此时3x30,不合题意,舍去),故该等比数列的首项x3,公比q2,所以第四项为(6x6)q24.2(2013北京高考)若等比数列an满足a2a420,a3a540,则公比q_;前n项和Sn_.解析:由题知解得故Sn2n12.答案:22n12练一练1(2014济南调研)已知等比数列an满足a12,a3a54a,则a3的值为()A. B1 C2 D.解析:选Ban为等比数列,设公比为q,由a3a54a可得:a4a,即q4.q2,a3a1q21.2已知数列an是公比q1的等比数列,则在
9、anan1,an1an,nan这四个数列中,是等比数列的有()A1个 B2个 C3个 D4个答案:C做一做1(2014日照一模)已知等比数列an的公比为正数,且公比a2a69a4,a21,则a1的值为()A3B3 C D.解析:选Dan是公比为正数的等比数列,设公比为q,则a2a6a,a9a4,a49.q29.q3.a1.2(2013全国大纲卷)已知数列an满足3an1an0,a2,则an的前10项和等于()A6(1310) B.(1310) C3(1310) D3(1310)解析:选C由3an1an0得an1an,所以an为等比数列,公比为,由a2得a14,所以由等比数列前n项和公式得S10
10、3(1310)3(2014扬州中学期中)设等比数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a11,a34,Sk63,则k_.解析:设等比数列an公比为q,由已知a11,a34,得q24,又an的各项均为正数,q2.而Sk63,2k163,解得k6.答案:64(2013皖南八校第三次联考)已知数列an是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何两个都不在同一列,则an_(nN*)第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188解析:观察题中的表格可知a1,a2,a3分别为2,6,18,即an是首项为2,公比为3的等比数列,an
11、23n1.答案:23n15(备选题)设数列an的前n项和为Sn,a11,且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式;(2)求a1a3a2n1.解:(1)S1a11,且数列Sn是以2为公比的等比数列,Sn2n1,又当n2时,anSnSn12n2(21)2n2.an(2)a3,a5,a2n1是以2为首项,以4为公比的等比数列,a3a5a2n1.a1a3a2n11.提升能力1(2013新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3 a210a1 ,a59,则a1()A. B C. D 解析:选C由题知q1,则S3a1q10a1,得q29,又a5a1q49,则a1,故选C.2已知
12、数列an,则“an,an1,an2(nN*)成等比数列”是“aanan2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选A显然,nN*,an,an1,an2成等比数列,则aanan2,反之,则不一定成立,举反例,如数列为1,0,0,0,3(2013郑州质量预测)在数列an中,an1can(c为非零常数),前n项和为Sn3nk,则实数k为()A1 B0C1 D2解析:选A依题意得,数列an是等比数列,a13k,a2S2S16,a3S3S218,则6218(3k),由此解得k1,选A.4(2013江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列an,Sn为前n项和,且S1010,S3070,那么S40()A150 B200C150或200 D400或50解析:选A依题意,数列S10,S20S10,S30S20,S40S30成等比数列,因此有(S20S10)2S10(S30S20),即(S2010)210(70