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1、第四章 数列第2讲 等比数列及其前n项和一、必记2个知识点1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn二、必明2个易误区1在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题
2、失误三、必会3个方法1等比数列的三种判定方法(1)定义：q(q是不为零的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式：ancqn1(c、q均是不为零的常数，nN*)an是等比数列(3)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列2等比数列的常见性质(1)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa；(2)若数列an、bn(项数相同)是等比数列，则an、a、anbn、(0)仍然是等比数列；(3)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk；(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则
3、Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为1时，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定构成等比数列3求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q1时，Snna1；当q1时，Sn；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论考点一等比数列的基本运算1.(2013承德一模)在等比数列a
4、n中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为()A1B C1或 D1或解析：选C根据已知条件得3.整理得2q2q10，解得q1或q.2(2013全国卷)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1 BSn3an2 CSn43an DSn32an解析：选D由等比数列前n项和公式Sn，代入数据可得Sn32an. 类题通法1对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用2在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论考点二等比数列的判定与证明典例已知数列an的前
5、n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首项c1a11，又a1a11，a1，c1.又cnan1，故cn是以为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知cnn1nan1n. 类题通法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可针对训练已知数列an的前n项和Sn2an1，求证：an是等比数列，并求出通项公式证明：Sn2an1，Sn12an11
6、.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an，an12an.又S12a11a1，a110.又由an12an知an0，2.an是以1为首项，2为公比的等比数列an12n12n1.考点三等比数列的性质典例(1)在等比数列中，已知a1aa15243，则的值为()A3 B9 C27 D81(2)(2014长春调研)在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n()A11 B12 C14 D16解析(1)设数列an的公比为q，a1aa15243，a1a15a，a83，a9.(2)设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12
7、，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故选C.答案(1)B(2)C类题通法等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：通项公式的变形，等比中项的变形，前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口针对训练1设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3等于()A12 B23C34 D13解析：选C由等比数列的性质知S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.课后作业试一试1(2013江西高考)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24
8、B0 C12 D24解析：选A由等比数列的前三项为x,3x3,6x6，可得(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(此时3x30，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x3，公比q2，所以第四项为(6x6)q24.2(2013北京高考)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.解析：由题知解得故Sn2n12.答案：22n12练一练1(2014济南调研)已知等比数列an满足a12，a3a54a，则a3的值为()A. B1 C2 D.解析：选Ban为等比数列，设公比为q，由a3a54a可得：a4a，即q4.q2，a3a1q21.2已知数列an是公比q1的等比数列，则在
9、anan1，an1an，nan这四个数列中，是等比数列的有()A1个 B2个 C3个 D4个答案：C做一做1(2014日照一模)已知等比数列an的公比为正数，且公比a2a69a4，a21，则a1的值为()A3B3 C D.解析：选Dan是公比为正数的等比数列，设公比为q，则a2a6a，a9a4，a49.q29.q3.a1.2(2013全国大纲卷)已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()A6(1310) B.(1310) C3(1310) D3(1310)解析：选C由3an1an0得an1an，所以an为等比数列，公比为，由a2得a14，所以由等比数列前n项和公式得S10
10、3(1310)3(2014扬州中学期中)设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k_.解析：设等比数列an公比为q，由已知a11，a34，得q24，又an的各项均为正数，q2.而Sk63，2k163，解得k6.答案：64(2013皖南八校第三次联考)已知数列an是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an_(nN*)第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即an是首项为2，公比为3的等比数列，an
11、23n1.答案：23n15（备选题）设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2n1.解：(1)S1a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列，Sn2n1，又当n2时，anSnSn12n2(21)2n2.an(2)a3，a5，a2n1是以2为首项，以4为公比的等比数列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.提升能力1(2013新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3 a210a1 ，a59，则a1()A. B C. D 解析：选C由题知q1，则S3a1q10a1，得q29，又a5a1q49，则a1，故选C.2已知
12、数列an，则“an，an1，an2(nN*)成等比数列”是“aanan2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A显然，nN*，an，an1，an2成等比数列，则aanan2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，3(2013郑州质量预测)在数列an中，an1can(c为非零常数)，前n项和为Sn3nk，则实数k为()A1 B0C1 D2解析：选A依题意得，数列an是等比数列，a13k，a2S2S16，a3S3S218，则6218(3k)，由此解得k1，选A.4(2013江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40()A150 B200C150或200 D400或50解析：选A依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70
