《2022年高考数学复习专题系列立体几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学复习专题系列立体几何（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第六部分立体几何一，常见结论1、简单旋转体的结构特征对比：结构特征球圆柱圆锥圆台母线无母线都平行且相等所有的母线都相等且交于顶点所有的母线都相等延长交于一点底面无两底面平行相等圆一个底面圆两底面平行不等圆平行于底截面球的任何截面都是圆与底面相等的圆与底面不等的圆与底面不等的圆轴截面大圆矩形等腰三角形等腰梯形侧面展开图不可展开矩形扇形扇环2、简单多面体的结构特征对比：结构特征棱柱棱锥棱台底面平行且全等多边形多边形平行相似多边形侧面平行四边形三角形梯形侧棱平行且相等相交于一点延长线交于一点平行于底的截面与底面全等的多边形与底面相似多边形与底面相似多边形过不相邻侧棱的截面平行四边形三
2、角形梯形3、简单几何体的表面积和体积（1）圆柱、圆锥、圆台、球的表面积(c是底面周长，l为母线长 ) 圆柱的侧面积 : 2Sclrl，表面积)(2222lrrrlrS；圆锥的侧面积12Sclrl，表面积)(2lrrrlrS；圆台的侧面积12121()()2Sccll rr，表面积)(222121rrlrlrS；球的表面积24 RS（2）简单几何体的体积棱柱和圆柱的体积hSV；棱锥和圆锥的体积hSV31；棱台和圆台的体积hSSSSV）下下上上(31；球的体积334RV。4、三视图的投影规律：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等5、空间图形的公理公理1：文字语言：如果一条直线的两点
3、在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（即直线在平面内）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页学习必备欢迎下载符号语言：,Al Bl ABl。应用： 证明或说明点在平面内，线在平面内。公理 2： 文字语言 : 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 （即可以确定一个平面）。符号语言： 若ABC直线点，则点A、B、C确定一个平面，又可记作：平面ABC。推论 1 经过直线和直线外的一点，确定一个平面；推论 2 经过两相交直线，确定一个平面；推论 3 经过两平行直线，确定一个平面。应用： 证明点或线共面,
4、确定平面。公理3：文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。符号语言：,Aa Aa。应用： 证明多点共线，多线公点，判定两平面相交。公理 4 ：文字语言：平行于同一直线的两条直线平行。符号语言：/ / ,/ / /ab bcac。应用： 证明线线平行。6、线面、面面、线线平行的证明方法(1)线面平行的证明：/ / ,/ /mn mnm（线线平行线面平行）/ /,/ /mm（面面平行线面平行）,/ /nnmm（直线所在的向量和平面的法向量垂直）(2) 面面平行的证明：,/ /,/ / /ababA ab（线面平行面面平行）,/ / ,/ / /abab
5、A cdcdB ac bd（线线平行面面平行）/ / ,/ / /（面面平行传递性）,/ /aa,/ / /nmnm(两平面的法向量平行)(3) 线线平行的证明：/ / ,/ / /ab bcac（线线平行传递性）/ /,/ /aabab（线面平行线线平行）/ /,/ /abab（面面平行线线平行）,/ /abab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页学习必备欢迎下载7、线面、面面、线线垂直的证明方法(1)线面垂直的证明：,am an mnmnAa（线线垂直线面垂直）,l aala（面面垂直线面垂直）/ / ,ab b
6、a/ /,aa,/ /mama(2) 面面垂直的证明：,aa（线面垂直面面垂直）,mnmn(3) 线线面垂直的证明：0a babab,abab8、空间角的求法（1）异面直线所成的角: 范围：(0,2求法：【方法一】平移法：把两条直线平移到同一个平面内求解【方法二】向量法：设异面直线,m n的夹角为，它们的方向向量分别为,m n，则| cos,| cosm n；（2）直线与平面所成的角: 范围：(0,2求法：设直线l与平面所成角为【方法一】定义法：如图 1，设直线l与平面的交点为A，在直线l上取一点P，过P作平面的垂线，垂足是O，则PAO就是设直线l与平面所成角，然后在Rt POA计算即可【方法
7、二】 向量法： 设直线l的方向向量为l ，平面的法向量为n， 则| c o s,| s i nl n， 即,2l n或者,2l n；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页学习必备欢迎下载（3）二面角 : 范围：(0,)求法：设平面与平面所成角为，l，【方法一】定义法：在两个平面的交线l上取一点O，过O分别在平面,内作l的垂线，公共垂足是O，即,OAl OBl所以平面与平面所成角为就是AOB；【方法二】如图2，在平面（或）中任取一点A，向另一平面（或）作垂线，垂足为B，即AB（或AB） ，然后过A向交线l作垂线，垂足为O
8、，即AOl，连接OB，则交线l垂直于平面AOB，即,lAO lABAOB；【方法三】 向量法：设平面的法向量为n，平面的法向量为m，则|cos,| | cos|m n即（ 1）当两个平面的法向量n，m的方向都指向两个平面的内部或外部时，,m n； （2）当两个平面的法向量n，m的方向一个指向平面的内部（或外部），另一个指向平面的外部（或内部）时，,m n;如图 3 所示；9、空间距离的求法：（1）空间中的距离分三类：点到平面的距离：直线和平面平行的线面距离：转化为点到平面距离两个平行平面的面面距离：转化为点到平面距离即点到平面的距离，直线和平面平行的线面距离，两个平行平面的面面距离都是转化为点
9、到平面距离来求；（2）点到平面距离的定义：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页学习必备欢迎下载过点向已知平面作垂线，则点和垂足构成的线段就是点到平面的距离；如图4 所示：AO，垂足是O，则点A到平面距离就是AO；(3)求法：【方法一】定义法：先作后求【方法二】等体积法：【方法三】向量法：在平面内任取一点B，设平面的法向量为n，则|AB ndn原因如下：如图5 所示，点A到平面距离就是AO，设AOd，在Rt AOB中，|cosdABBAO|cos|cos,|AB nAB nAB nBAOAB ndABABnABnn，1
10、0、空间直角坐标系中点的坐标：（1）空间直角坐标系中点的坐标的如何确定：设空间中有一点( , , )P x y z，则点P的横坐标的绝对值是它到yoz平面的距离，点P的纵坐标的绝对值是它到xoz平面的距离，点P的竖坐标的绝对值是它到xoy平面的距离；（2）空间直角坐标系中特殊点的坐标若点P在原点，则点P的坐标为(0,0,0)；若点P在 x 轴上，则点P的坐标为( ,0,0)x；若点P在 y 轴上，则点P的坐标为(0, ,0)y；若点P在 z 轴上，则点P的坐标为(0,0,)z；若点P在xoy平面上，则点P的坐标为( , ,0)x y；若点P在yoz平面上，则点P的坐标为(0, )y z；精选学
11、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页学习必备欢迎下载若点P在xoz平面上，则点P的坐标为( ,0, )xz；若点P在空间上，则点P的坐标为( , )x y z；二，例题分析例 1、 （12 新课标文、理7）如图 6，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A、6B、9C、D、【解析】 此题考查三视图、锥体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力；由已知三视图可知，该几何体是三棱锥，底面 是 俯 视 图 ， 高 为3， 所 以 几 何 体 的 体 积 为93362131V，选 B；例 2
12、、 （12 新课标理11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（）A、26B、36C、23D、22【解析】此题考查球的性质、点到平面的距离、锥体体积的计算公式、考查学生的空间想象能力和转化化归思想的应用；【解法一】直接法：ABC的外接圆的半径33r，点O到面ABC的 距 离2263dRr,SC为 球O的 直 径点S到 面ABC的 距 离 为2 623d， 此棱锥的体积为1132 62233436ABCVSd，所以选A 【解法二】排除法：因为13236ABCVSR排除,B C D,选 A. 例 3、 （12 新课标
13、文8）平面截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面的距离为2，则此球的体积为（）A、6B、4 3C、4 6D、6 3【解析】此题考查球的截面、 球的性质、球的体积的计算公式； 球半径3)2(12r，所以球的体积为34)3(343，选 B. 例 3、 （12 全国文 8、理 4）已知正四棱柱1111ABCDA B C D中 ，2AB，12 2CC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页学习必备欢迎下载E为1CC的中点，则直线1AC与平面BED的距离为（）A、2B、3C、2D、1【解析】 此题考查空间中距离的计算
14、、考查学生的等价转化和化归思想的应用、考查学生的运算求解能力；如图7 所示，连结BDAC,交于点O，连结OE，因为EO,是中点，所以1/ ACOE,且121ACOE，所以BDEAC /1，即直线1AC与平面 BED 的距离等于点C到平面BED 的距离，过C做OECF于F,则CF即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22AC,2,2 CEOC,2OE,所以利用等积法得1CF，选 D. 例 4.（12 陕西文 8）将正方形（如图8 所示）截去两个三棱锥，得到图9 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
15、第 7 页，共 25 页学习必备欢迎下载【解析】 此题考查三视图知识、考查学生的空间想象能力；根据空间几何体的三视图的概念易知左视图1AD是实线CB1是虚线，故选B. 例 5、 （12 江西文 7）若一个几何体的三视图如图10 所示，则此几何体的体积为（）A、112B、5 C、4 D、92【解析】此题考查三视图、柱体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力；由三视图可知这是一个高为1的 直 六 棱 柱 。 底 面 为 六 边 形 的 面 积 为421231）（，所以直六棱柱的体积为414，选 D. 此题题容易把底面六边形看成是边长为1 的正六边形，其实只有上下两个边长是1. 例 6、 （12 湖
16、南文 4、理 3）某几何体的正视图和侧视图均如图 11 所示，则该几何体的俯视图不可能是（）【解析】 此题考查空间几何体的三视图、考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；此题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1 所示知， 原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 7、 （12 广东理 6）某几何体的三视图如图12 所示，它的体积为（）A、12B、45C、57D、81【解析】 此题考查空间几何体的三视图、空间组合体的体积的计算、 考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；该几何体是一个组合体，上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，如图13所 示 ， 根 据 三 视 图 中 的 数 量 关 系 ， 可 得57533-53312222圆柱圆锥VVV，所以选 C；例 8、 （12 四川理、 文 14）如图 13，在正方体1111ABCDA B
