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1、信号与系统第四章 信号的谱表示第四章 信号的谱表示4.1 上的傅里叶级数 4.2 典型周期信号的谱4.3 上函数的傅里叶变换4.4 傅里叶变换的性质4.5 周期信号的傅里叶变换2Chapter 4 信号的谱表示4.6 采样定理4.7 傅里叶变换的渐近性质4.8 相关函数与谱分析 4.9 匹配滤波器4.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg 测不准原理 34.1 上的傅里叶级数 1. 2. Dirichlet条件：44.1 上的傅里叶级数3.三角函数形式的傅里叶级数 (1) 三角函数集 54.1 上的傅里叶级数(2) 的傅里叶级数为 其中64.1 上的傅里叶级数(3)其中：74.1 上的
2、傅里叶级数注：1. 物理含义：第n次谐波的幅度2. 为第n次谐波的相位3. 为直流分量4. 离散幅度谱 84.1 上的傅里叶级数4.指数形式的傅里叶级数 (1) 94.1 上的傅里叶级数(2) ，有 其中注：复频率的引入完全由完备性决定。104.1 上的傅里叶级数(3) (4)114.1 上的傅里叶级数(5) 利用可导出： 124.1 上的傅里叶级数5.傅里叶级数使用范围 (1) 可展成傅里叶级数 (2) 将f(t)以为周期T向左、右做周期延拓得： 所以，在一个周期内绝对可积的周期信号可展成傅里叶级数。周期信号： 主周期： 134.1 上的傅里叶级数6.函数的对称性与F.S.的定性性质 144
3、.1 上的傅里叶级数(1) f(t)为偶函数： f(t)= f(-t)， f(t)的傅里叶级数只含有直流和余弦分量。(2) f(t)为奇函数： f(t)= -f(-t)， f(t)的傅里叶级数只含有正弦分量。(3) f(t)为奇谐函数： ， f(t)的傅里叶级数只含有奇次正余弦分量（奇次谐波）。(4) f(t)为偶谐函数： ， f(t)的傅里叶级数只含有偶次正余弦分量（偶次谐波）。154.1 上的傅里叶级数7. Parseval定理（内积不变性）定理（Parseval）：对 164.1 上的傅里叶级数8.能量定理 174.1 上的傅里叶级数9.均方收敛性（依范数收敛，强收敛） 定理（均方收敛）
4、：对 其中在个别点，甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。 2N+1项F.S.近似，欧式范数最小 方差最小 均方差最小。184.1 上的傅里叶级数10.可F.S.展开的充分条件 定理（可F.S.展开的充分条件）： 若证明： 194.1 上的傅里叶级数11. Gibbs现象 若用F.S.逼近f(t)，在第1类间断点处不一致收敛，且在间断点的很小邻域内有奇异现象出现，9% 的最大峰起。 204.2 典型周期信号的谱 周期矩形脉冲信号： 214.2 典型周期信号的谱224.2 典型周期信号的谱(1) f(t)的频谱为可列的无穷多条线谱 (2)谱线间隔为(3)线谱包络为(4) 0到第一零点之间的谱线的
5、个数： （ 表示对 取整) 234.3 上函数的傅里叶变换1.问题提出考虑 则谱线间隔：此时信号有周期信号变为非周期信号，其频谱由离散谱变为连续谱。 244.3 上函数的傅里叶变换其中， 表示单位频率上的谱强度， 为 f(t) 的频谱密度函数（谱密度）。令：254.3 上函数的傅里叶变换2.傅里叶变换定义：对傅里叶(正)变换： 傅里叶反变换：其中：264.3 上函数的傅里叶变换定义：定理： 存在的充分条件： 274.3 上函数的傅里叶变换 映射 284.3 上函数的傅里叶变换 294.3 上函数的傅里叶变换3.典型函数的谱(1)高斯函数 304.3 上函数的傅里叶变换高斯函数：高斯函数为正实函
6、数高斯函数的傅里叶变换仍是高斯的高斯函数是速降函数令 314.3 上函数的傅里叶变换(2)矩形函数 324.3 上函数的傅里叶变换334.3 上函数的傅里叶变换(3)三角脉冲函数 推广：矩形函数不断卷积，其傅里叶变换弱收敛于高斯函数 344.3 上函数的傅里叶变换(4)双边指数函数 354.3 上函数的傅里叶变换(5)单边指数函数 364.3 上函数的傅里叶变换(5)单边指数函数 374.3 上函数的傅里叶变换(6)符号函数 384.3 上函数的傅里叶变换(6)符号函数（续） 394.3 上函数的傅里叶变换(7)冲击函数 404.3 上函数的傅里叶变换(8)直流 414.3 上函数的傅里叶变换
7、(9)阶跃函数 424.4 傅里叶变换的性质1. .F 是线性变换： 2.对称性： 434.4 傅里叶变换的性质3. 共轭共轭： 注：(1)若f(t)为实函数： 则 (2)若f(t)为纯虚函数，仍然成立。444.4 傅里叶变换的性质4. 相似性定理（Similarity Theorem）（尺度变换性质）： 特别地， 454.4 傅里叶变换的性质5.时移： 464.4 傅里叶变换的性质6.调制（频移）： 注：此时谱的形状没有发生变化，为线性调制。 474.4 傅里叶变换的性质7.时域微分： 484.4 傅里叶变换的性质8.频域微分： 494.4 傅里叶变换的性质9.时域卷积： 504.4 傅里叶
8、变换的性质10.频域卷积定理： 514.4 傅里叶变换的性质11.时域积分： 524.4 傅里叶变换的性质12.矩定理： 534.4 傅里叶变换的性质13.矩展开式：设 则 544.4 傅里叶变换的性质例：可见，两个方差相差很大的信号卷积，宽的信号起主导作用。 554.4 傅里叶变换的性质例：已知 564.5 周期信号的傅里叶变换 周期信号f(t)傅里叶级数对傅里叶级数求变换 574.5 周期信号的傅里叶变换1.典型周期信号的傅里叶变换(1) (2) 584.5 周期信号的傅里叶变换(3)594.5 周期信号的傅里叶变换(4)604.5 周期信号的傅里叶变换2. 一般周期信号的傅里叶变换 定义
9、（主周期）：对周期信号 定义主周期： 614.5 周期信号的傅里叶变换3.624.5 周期信号的傅里叶变换4.理想采样序列的傅里叶变换 定义： 为理想采样序列。 634.5 周期信号的傅里叶变换 644.5 周期信号的傅里叶变换654.6 采样定理1. 问题的提法664.6 采样定理2. 采后信号的谱结构 674.6 采样定理3.矩形脉冲采样(1)684.6 采样定理(2)694.6 采样定理4.理想采样704.6 采样定理5.零阶采样保持器714.6 采样定理 724.6 采样定理上面的电路可用下面的模型表示：734.6 采样定理744.6 采样定理754.6 采样定理764.6 采样定理6
10、.时域采样定理定理（Nyquist时域采样定理）：774.6 采样定理784.6 采样定理794.7 傅里叶变换的渐近性质 1. 定理（Riemann-Lebesgue Lemma）：对常义的极限不等于零。 804.7 傅里叶变换的渐近性质2.有界变差函数（Bound Variation Function）定义：设 814.7 傅里叶变换的渐近性质 有界变差函数未必绝对可积。 824.7 傅里叶变换的渐近性质3. Riemann定理：若834.7 傅里叶变换的渐近性质4. 定理：若若844.8 相关函数与谱分析 1.相关（似）系数 854.8 相关函数与谱分析 定义（相关（似）系数）：对 86
11、4.8 相关函数与谱分析 正交投影误差与相关系数 874.8 相关函数与谱分析 884.8 相关函数与谱分析 2. 中信号的相关函数与能谱 相关系数 只能描述两个没有时差（时间原点相同）的函数之间的相关（似）性。 894.8 相关函数与谱分析 (1) 相关函数定义（互相关函数）：对 定义 904.8 相关函数与谱分析 定义（自相关函数）：914.8 相关函数与谱分析 定义（能谱（密度）：924.8 相关函数与谱分析 定义（互谱密度）：注：互谱密度没有可指称的物理意义。 934.8 相关函数与谱分析 (2) 相关定理：对有 。944.8 相关函数与谱分析 3. 功率有限信号的相关函数与功率谱周期
12、信号等不是能量有限信号。设954.8 相关函数与谱分析 定义：对功率有限信号：定义（功率谱（密度）：功率： 964.8 相关函数与谱分析 4.线性定常系统的输入输出相关分析 974.9 匹配滤波器 1. 问题的提法滤波：在信号白噪声（噪声干扰）中分离信号。匹配滤波：以发现信号为目的。维纳滤波：以克隆信号为目的。需要解决的问题：在加性白噪声的背景下把信号很好的分离984.9 匹配滤波器 2. 白噪声：994.9 匹配滤波器 3. 匹配滤波器定义： （ 时） 峰值信噪比1004.9 匹配滤波器 定义（匹配滤波器）：在加性白噪声背景下，使瞬时信噪比最大的线性滤波器谓之匹配滤波器。定理（匹配滤波器）：
13、在加性白噪声背景下，对匹配滤波的系统冲激响应： 1014.9 匹配滤波器(1)(2)注：1024.9 匹配滤波器(3) 在观测时刻，读取卷积输出的峰值1034.9 匹配滤波器4. 匹配滤波与相关接收等价1044.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理 1054.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理1. 按波形与谱结构定义(1)(2)1064.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理2. 按信号特征参数定义 1074.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理3.等效矩形时宽与等效矩形带宽若1084.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理 1094.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理4. Heisenberg测不准原理 对1104.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理1114.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理定理：对1124.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理5. 一个信号不可能既带限又时限 一个信号不可能在时域和频域同时具有紧支集 若若1134.10 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不准原理定理（时宽带宽积的尺度不变性）：注：114结束
