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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑量子力学讲义34 第3章 量子力学中的力学量 1 算符的运算规矩 一、算符的定义： 算符代表对波函数举行某种运算或变换的符号。 ?v Au表示?把函数u变成 v， ?就是这种变换的算符。为强调算符的特点，往往在算符的符号上方加一个“”号。但在不会引起曲解的地方，也常把“”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 得志如下运算规律的算符?，称为线性算符 ?(c?c?)?cA? A11221?1?c2A2其中c1, c2是任意复常数，?1, ?2是任意两个波函数。 ?i?， 例如：动量算符p单位算符I是线性算符。 2、算符相等 ?对体系的任何波函数?的运算结果都
2、一致，即A?B?，那么算符?和算若两个算符?、B?B?相等记为A?。 符B3、算符之和 ?B?B?，?对体系的任何波函数?有：?)?A?CB?C?若两个算符?、那么AB(A称为算符之和。 ?B?，A?B?A?(B?)?(A?B? ?C?)?C A4、算符之积 ?，定义为 ?之积，记为AB 算符?与B?)?A?(B? ?)?C(AB?BA?。 ?是任意波函数。一般来说算符之积不得志交换律，即AB5、对易关系 1 ?BA?，那么称?与B?不对易。 若AB?B?，那么称?与B?B?A?对易。 若A?BA?和B?， 那么称A?反对易。 若算符得志AB?不对易 ?x?x?x(?i?)?i?x? 证明：(
3、1) xp?x?x?xx?(?i?)x?i?i?x? (2) p?x?x?x?i?例如：算符x, p鲜明二者结果不相等，所以： ?x?p?xx xp?x?p?xx)?i? (xp由于?是体系的任意波函数，所以 ?x?p?xx?i? 对易关系 xp同理可证其它坐标算符与共轭动量得志 ?z?p?zz?i? ?y?p?yy?i?，zp yp但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ?y?p?yx?0?yp?x?p?xz?0?x?p?xy?0?xp?zp ?，?，? ?z?p?zx?0?ypz?pzy?0?xp?zpy?pyz?0?x?p? ppy?pyx0，pypz?pzpy?0，pzp
4、x?pxpz?0 ?y?zp?x?p?xp?z?0 ?yp?z?p?zp?y?0，p xy?x0，p写成通式(概括起来)： ?p?x?i? (1) x?p?x?x?x?0 x?p?p?p?0 其中?,?x,y,z或1,2,3 p量子力学中最根本的对易关系。 ?对易，B?与?对易，不能推知?与?对易与否。 留神：当?与B2 6、对易括号(对易式) 为了表述干脆，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ?,B?BA?AB? A这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?i? x?,p不难证明对易括号得志以下代数恒等式： ?,B? ?B?,A1) A?,B?A?,B?,
5、C? ?C?A2) A?,kB?,B?,BC?,C?A?,B? ，AB?,C?A?B?A?,C?B?kA? ?B?A?C?,C?，A3) A?,B?B?,A?C?,A?,B?,C?,C?0 称为 Jacobi 恒等式。 4) A 角动量的对易式： (1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系 ?i?r?l?xex?l?yey?l?zez 角动量算符l?r?p?l?在直角坐标中的三个分量可表示为 ?yp?z?zp?y?i?(y lx?zp?x?xp?z?i?(z ly?z) ?z?y?x) ?x?z?xp?y?yp?x?i?(x lz?y) ?y?xl?x,l?y?i?l?z，l?y,l?z?i?l
6、?x，l?z,l?x?i?l?y （要求会证明） ?l?l?i?l ?l?l?i?l? 是角动量算符的定义式。 ?,? l?i?l? ?3 ?l式中?称淡Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下： ?123?1 其中?,?x,y,z或1,2,3 ?i?x或 l?,x?i?x ?,?x,y,z证明：x?,l ?,l?i?p? 或 l? p?,p?i?p? ?l?,l?2?0 (2)在球坐标系中角动量算符的对易关系 ?i?(sin?ctg?cos?) lx?i?(cos?ctg?sin?) ly?i? lz?1?1?22(sin?)?2 l?sin?sin?l?x,l?y,l?z
7、和l2只与?,? 有关，与r 无关，而且l?z只与? 有关。 ?2?2?2 ?2?2 2?x?y?z21?2?1?1?2 ?2 (r)?(sin?)?2?rr2sin?r?rrsin2?2?222?prprll?22或 ?2?22?2?22 ?r?r?r?其中p?11?2?r2?22?r可称为径向动量算符。 (?),p(r)，pi?rr?r?rr (3)角动量升降阶算符 (I) 定义 l?l?x?il?y，l?l?x?il?y 4 鲜明有如下性质 l?l?， l?l? 这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系 ?2,l?0l?l?l?2?l?2?l?l?l?l?2?l?2?l?l， ，lz
8、,l?l?zz?zz 7、逆算符 ?1? (1). 定义: 设?=?, 能够唯一的解出?， 那么可定义算符?之逆?-1为: A (2).性质I: 若算符?之逆?-1存在，那么 ?1?A?1A?I, AA?,A?1?0 A?均存在逆算符, 那么 (3).性质II: 若?,B?)?1?B?1 ?1A(AB8、算符函数 设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，其幂级数开展收敛 F(n)(0)nF(x)?x n!n?0?那么可定义算符?的函数F(?)为: (n)F(0)?n?)?F(AA ?n!n?0?补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态) ?与?的“标积” * (?,?)?d? ?d?是指对体系的全部空间坐标举行积分，d?是坐标空间体积元。例如 对于一维粒子：d? 对于三维粒子：d?可以证明 5 ?dx dxdydz ? 6
