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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑重庆大学线性代数答案 习题一解答 21D?61?1填空 （3）设有行列式 31、 为 答：(?1)5?1501?12?4013037304282含因子a12a31a45的项 a12a23a31a45a54?5?2?6?8?3?1440或(?1)4a12a24a31a45a53?5?0?6?8?1?0 1f(x)?111241?241xx2318?8x，f(x)?0的根为 （5）设 解：根据课本第23页例8得到f(x)?(2?1)(?2?1)(?2?2)(x?1)(x?2)(x?2) f(x)?0的根为1,2,?2 （6）设x1,x2,x3是方程x解：根据条件
2、x1?x2?x3?0， 3?px?q?0的三个根，那么行列式 x1x3x2x2x1x3x3x2x1= x3?px?q?(x?x1)(x?x2)(x?x3)，对比系数得到 x1x2x3?q；再根据条件x13?px1?q，x23?px2?q，x33?px3?q； 333x?x?x?3x1x2x3?p(x1?x2?x3)?3q?3q?0 123原行列式= 1D?2323434141?(aiJ)24123（7）设 ，那么A14?2A24?3A34?4A44= 解：A14?2A24?3A34?4A44相当于?(aiJ)中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0. aD?cdabbbbcdcdd
3、a?(aiJ)ac（8）设，那么A14?A24?A34?A44= acdabbbbcdcddaac解 将D按第四列开展得到dA14?aA24?aA34?cA44=，第四列的元素全变成1，此时第四列与其次列对应成比例，所以A14?A24?A34?A44=0. =a， a11?D1?c11c21?cn1a12?a1m?c12?c1m?000a21a22?a2mam1am2?ammb11b21?bn1000b12b22?bn2?b1nb2n?b?bnn，那么 000000?000a11a21?c11c21?a12?a1ma22?a2m?c12?c1mc22?c2m?(?1)mnab0?0?0?b11
4、b12?b1n?ab；?D2?b11b12?b1nb21b22?b2n?am1am2?ammc22?c2mb21b22?b2ncn2?cnmbn1bn2?bnn bn1bn2?bnncn1cn2?cnm 证 由于任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成： a11a?a21?am1a12a22?a1m?a2m?a1?a210a2?00am2?amm= ?1am?2?amam=a1a2?am 行列式D1，D2的变换和行列式a的变换完全一致，同样假设行列式D1变成 a1?a21?1am?c11?c21?1cn0a2?2am?c12?c22?2cn?00?am?mc100?0b
5、11b21?bn100?0b12b22?bn2?00?0?b1n?b2n?bnn?m?c2?cnm第1次按第1行开展(a2变成第1行)第2次按第1行开展(a3变成第1行)?第m次按第1行开展a1a2?amb11b12?b1nb21b22?b2n?bn1bn2?bnn00?D2?0b11?000?000?ab a1?a210a2?00?1am?2?amam?c1?m第1次按第1行开展(a2变成第1行、第n+1列)c11c12?c2?m第2次按第1行开展(a3变成第1行、第n+1列)c21c22?第m-1次按第1行开展(am变成第1行、第n+1列)?1cn?2?cnm?第m次按第1行开展cn?b1
6、2?b1n?b21b22?b2nbn1bn2?bnn =(?1)mnab 或将D2的第(n?1)列连续经过n次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第(n?2)列连续经过n次对换而成为第2列，如此下去，第(n?m)列连续经过n次对换而成为第m列，D2共经过mn次列对换而变成D1，所以D2=(?1)ab。 7、计算以下行列式： mnxaDn?a?a（1） axa?aaax?a?aaa?iaij?x， （2）Dn?(aij)其中?2i?ji?j （3）Dn?(i?j),即aij?i?j a10?0D2n?0?0c10a2?00?c20?00?ancn?000?bndn?0?0b2?00?d20
7、b10?00?0d1a?b10?0aba?b1?00aba?b?0?000?a?b000?ab00?1a?b Dn?0（4）（5） 解（1）第2行、第3行、第(n?1)和第n行全加到第1行后，第1行提出x?(n?1)a得 1aa1xa1ax?1aaDn11= 1x?(n?1)a?aaa?x第1行乘以(-a)加到其他每一行x?(n?1)a?1000x?a0?00x?a?0?0n?1?0?x?a =(x?a)x?(n?1)a. 12Dn?2?2（2） 0123?222?2223?2?222?n第2行乘以(-1)加到其他每一行?120?0020?0021?0?020?n?2=(-1)A11 （n?2
8、)! =?21012?n?3n?22101?n?4n?33210?n?5n?4?n?2n?3n?4n?5?01n?1n?2n?3n?4?10第n行减去第(n?1)行、 第(n?1)行减去第(n?2)行、 第4行减去第3行、 第3行减去第2行、 1022?222022?223000?22?n?2000?02n?1000?00 (3)Dn= 0111?n?2n?1 1?111?112?1?11?113?1?1?1?11?n?2?1?1?1?11n?1?1?1?1?1?10111?= 11第1列加到1其他每一列1 =(n?1)A1n=(n?1)(?1)2 （4）将D2n按第一行开展 a2?0a10?
9、c20?0?ancn?00?bndn?0?2n?1?1n?1n?2b2?00?d200?00?0d10?00?0c1a2?00?c20?n0?ancn?00?bndn?0?b2?00?d20D2n=+b1(?1)2n?1 = a1d1D2(n?1)?b1c1(?1)a10?0aba?b1?00D2(n?1)?(a1d1?b1c1)D2(n?1)?aidi?bici)i?1 000?a?b1000?aba?b0aba?b?00?000?a?b1000?aba?bb00?0aba?b1?000aba?b?00?（5）Dn?中 0+ 0，其 a10?00naba?b1?000aba?b?00n?00
10、0?a?b1n第1列乘以(-b)加到第2列;?第2列乘以(-b)加到第3列;?ab?0a?b第(n-1)列乘以(-b)加到第n列0n?1nn?1000a100a1?0000a?00?000?a1000?0a=a 于是Dn?a?bDn?1=a?b(a?bDn?2)=a?ba =?an?ban?1?b2an?2?bn?1a?bn 习题二解答 ?2?0?1?A?0题 设 02022020?b2(an?2?bDn?3) 8 0?0?0?k2?，求A(k为正整数） ?0?0?20?20?10?0?2A?,E?A?E?2?E?2?0201E?，?，? 解 记那么 ?2k?0?k?1k?0?k2Ak?k?1
11、?k?k?00?1?2?0?f(?1)f(?)?00?f(?2)?k02k0k2k?1002k00?0?0?2k? n 20题 设，f(x)?a0?a1x?anx，an?0,n为正整数，证明 0?2k?，f(?)?a0E?a1?an?n，所以 0?2n?a0?a1?1?an?1n?0?=?f(?1)0?a0?a1?2?an?2n?00?f(?2)?1k?0? 证 由于?1f(?)?a0?00?1?a1?1?0?1n0?an?2?0 21 ?1P?题设?1?4?1?2?，?00?2?，P?1AP?，求A10。 4?1?，所以 114?2?1?10?1?1?2?=?2P?1?1 解 由于A?P?P?1，A10=P?10P?1， 1?1?A10=2?1?4?2?1?0?0?210?2?1?4?1?1?=2?1?1?212?211?2?1?211?2?2?210?A?13 ，那么 23、填空选择题：（1）A为n阶方阵，A*为其伴随阵， 1(A)?1?15A*?4 6
