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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑量子力学讲义8 量子力学11 第八章自旋8.1电子自旋 1.电子自旋存在的测验依据大量的测验事实证明电子具有自旋。我们已经知道，与电子轨道角动量 L相应地存在一个轨道磁矩 L= g L L, L= g L Lz,z gL e 2 c (1) 量子力学11 其中g L为电子的轨道回转磁比率。由于轨道角动量的模量(大小)是量子化的 L2= l (l+ 1) 2,且具有空间量子化 Lz= m,因此相应的轨道磁矩也具有模量 L以及空间LZ的量子化，即 L=L= gL l (l+1), l= 0,1,2,., n 1z L= g L m, m= 0,1,2,3,.,
2、l, (2) m对同一 l,可取 f l= 2 l+ 1个值，即对同一个L,它在空间可有 2l+ 1种取向，而由 量子力学11 于 l只能为零及正整数， f l总是奇数。可以通过与轨道磁矩有关的测验现象来检验轨道角动量的量子化性质。例如对氢原子基态 (n= 1, l= m= 0),其 L= 0, L= 0,即无轨道角动量与轨道磁矩，但出名的施特恩-盖拉赫测验说明，原子具有不同于轨道磁矩的一个新的磁矩。 SG测验如下图所示，由K源射出的处于S态(基态)的氢原子束经过狭缝和不平匀磁场照射毕竟片上，结果察觉射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线，这说明氢原子有磁矩，在非平匀磁场的作用下受到力的作用而
3、发生偏转。 量子力学11 z NB B S (8.1)Stern-Gerlach实 量子力学11 由于这是处于基态的氢原子，轨道角动量为零，基态氢原子的磁矩不成能由轨道角动量产生，故是一种新的磁矩。此外，由于测验上察觉只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。若原子具有磁矩,它在 z方向上的外磁场 B中的势能为 (3)为外磁场 B与原子磁矩之间的夹角。 U= B= Bz cos 量子力学11 而原子因磁矩的存在，在Z方向上受到的力为 Bz U= cos Fz= (4) z z测验说明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cos=+1和 cos= 1两个值。测
4、验还进一步说明，即使所使用的氢原子束不是纯基态，混有激发态 (l 0)的成分，那么由轨道磁矩付出而引起的射线束分裂也只能是 (2l+ 1)奇数条，决不会有轨道磁矩导致偶数条的射束分裂偏转。原子具有这一新磁矩也在其他测验里呈现。更加是在原子光谱的精细布局研究中表现。应用辨识率较高的光 量子力学11 谱分析装置，可观测到碱金属( Li, Na, K .)光谱的精细布局，如Na原子光谱中的主线系的每条谱线(例如3p3s能级跃迁的黄线)是由两条靠的很近的谱线组成的,在其他原子光谱中也存在这种精细布局。它务必在考虑原子中电子的这一新的磁矩才能予以解释。乌仑贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱 (Gou
5、dsmit)为了解释这些现象，于 1925年左右提出了电子自旋的假设： (1)每个电子都具有一个自旋角动量 s,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值： Sz= (若将空间任意方向取为z方向)2 量子力学11 (2)每个电子具有自旋磁矩 s它与自旋角动量 s的关系是 s在空间任意方向上的投影为 e es= g s S= S, g s cc e es z= g s S z= = B (B= 玻尔磁子) 2 c 2 c其中 gs= ec= 2gl称为自旋回转磁比率，它是轨道回转磁比率的2倍。 (3)电子自旋是不能给以经典图象而认为是一个带电小球绕自身轴的自转的，其困难在于当把自旋恢复为空间坐标描述
6、的转动时，只能得到 gs= gl,而绝不会得出 gs= 2gl;要达成测验上所测量值，小球的转速要使球外观线速度超过光速， 量子力学11 这当然是不正确的。因此，自旋是电子本身的内禀属性，是没有与其相应的经典对应的，在非相对论性量子力学中是作为一种内部运动而引入的第4个自由度来处理的。在相对论性量子力学范围内，自旋是相对论效应的结果或表现。不仅电子，全体微观粒子都具有自旋，它是微观粒子的固有属性之一。 量子力学11 2.自旋态的描述为了对电子的状态作出完全描述，如前所述，还务必考虑其自旋状态。切当的说，要考虑电子自旋在某给定方向(例如z轴方向)的两个可能取值(投影)的波辐，即波函数中还应包括自
7、旋投影这个变量(习惯上取为 S z),记为 (r, S z ),与连续变量 r不同， S z只能取 2两个分立值，因此，使用二分量波函数是便当的 (r, 2) (r, S z )= (r, 2) (1) 量子力学11 称为旋量波函数。其物理意义如下： 2 (r, 2):是电子自旋向上( S z= 2 ),位置在 r处的几率密度。 2 (r, 2):是电子自旋向下(S z= 2 )位置在 r处的几率密度。而 2 3 d r (r, 2)表示电子自旋向上( S z= 2 )的几率。 2 3 d r (r, 2)表示电子自旋向下(S z= 2 )的几率。 量子力学11 所以归一化条件为sz= 2 d
8、 r (r, S )= d r= d r (r,3 2 3+ 3 z 2)+ (r, 2)2 2 =1 (2) 在好多处境下，波函数可以分开变量，即 (r, S z )= (r ) (S z ) (3) 其中(Sz )是描述自旋态的波函数，其一般形式为 a (Sz )= b (4) 量子力学11 式中a与 b分别代表电子 S z=率，所以归一化条件表示为2 2 2 的几 a+ b= (a2 2+ * a b ) = 1 (5) b * m特例： S z的本征态 ms ( sz ), s表示 S z的本 1,自旋在z方向投影为征值。 s=的本征态 m 2 2为: 1 1 (Sz )= (6) 2
9、 0 1 ms= ,自旋在z方向投影为 2 2 的状态为 量子力学11 0 1 (S z )= 2 1 有时将他们简记为 (7) 与构成电子自旋态空间的一组正交完备基，任何一个自旋态式(4),均可用它们来开展， a 表示为 (8) 1 0 = ,= 0 1 ( S z )= = a+ b b 而计及空间坐标的波函数式(1),可以表示为 (r, S )= (r, 2)+ (r, 2) (9)z 量子力学11 特例：中心力场中的电子，若疏忽自旋轨道 ( H, L2, Lz, S z )为守恒量完全耦合，那么可选集，有共同本征态记为 nlmms。在 (r, S z )表象中可写为 nlmm (r,
10、Sz )=nlm (r, )m (Sz )s s (10) 3.自旋算符与Pauli矩阵考虑到自旋具有角动量特征，假设自旋 S的三个分量得志与轨道角动量一致的对易关系，即 S x, S y= i S z, S y, S z= i S x, S z, S x= i S y (11)或 S S= i S 量子力学11 由于S在任意空间方向上投影只能取 2这 两个函数值，故 S x S y S z这三个分量算符的本征值都是 2,而分量平方算符的本征 2值皆为 4,即有 2 1 2 2 2 S x= S y= S z=, S z= ms (ms= ) (12) 2 4 ms称为自旋磁量子数。由 且2
11、S=S+S+S22 2 x 2 3故 S的本征值是 S= S+ S+ S= 42 y 2 z S, S z=S, S y=S, S x= 02 2 x 2 2 y 2 z2 (13) (14) 量子力学11 若将任何角动量平方算符的本征值记为 (15)称角动量量子数，那么自旋角动量量子数 j满 S足 3 2 1 2 2 S= s ( s+ 1)=,s= (16) J= j ( j+ 1)2 2 4 2为便当起见，引入Pauli算符 (无量纲),S= 2 (17) 那么式(11)化为 x, y= 2i z, y, z= 2i x, z, x= 2i y (18) 量子力学11 或表示为 i, j
12、= 2i ijk k (19) (20) 也可表示成 = 2i 由式(17)可见， x y z的本征值为1,因而 2 2 2 x= y= z= 1 (单位算符)(21) 分别用 y左乘和右乘(18)式中的其次式，并利用式(21),可得 量子力学11 z y z y= 2i y x y z y z= 2i x y (22) 两式相加，得到 x y+ y x= 0,类似地可求其它两个式子，归纳起来，即的不同分量是彼此反对易的： 量子力学11 x y+ yx= 0 yz+z y= 0 (23) zx+xz= 0把式(18)和(23)联合起来，得 x y= y x= i z y z= z y= i x z x= x z= i y即 =+ i (24) 量子力学11 式(24)和 + =概括了Pauli算符的全代数性质。 特例:在量子力学中凡与自旋有关的力学量常 以算符表示。在任意方向 n的分量算符 n为 n= n=x sin cos +y sin sin +z cos cos sine i = i sine cos (25) 其中 n= ex sin cos + ey sin sin + ez cos是方向 n的单位矢量。 (26) 11
