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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题五答案详解 高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解 高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社） 习题五答案详解 1 求以下各曲线所围图形的面积： 1（1） y=2 与x2+y2=8(两片面都要计算)； 2解：如图D1=D2 y=12 解方程组 2 得交点A(2，2) 22 x+y=8 (1) 2 12 D1= 8 x x2 dx=+2 3 0 4 D1+D2=2+, 3 44 D3+D4=8 2+=6 33 1 （2） y=与直线y=x及x=2； x 113 解： D1= x dx= 2 lnx =
2、 ln2. 2 12 1 x (2) （3） y=ex，y=e x与直线x=1； 11 x x解：D= e edx=e+2 () 0e 2 2 (3) （4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb(ba0)； 解：D= lnbylna edy= b a 高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解 (4) （5） 抛物线y=x2和y= x2 2； 2 解：解方程组 y=x y= x2 2 得交点 (1，1)，( 1，1) D= 1 x2 ( x2+2 )dx=4 1 ( x2 +1=8 1 )dx3 (5) （6） y=sinx，y=cosx及直线x=4，x=9 4 ； 5
3、 5 解：D=2 4 (sinx cosx)dx =2 cosx sinx4 =42 44 (6) （7） 抛物线y= x2+4x 3及其在(0， 3)和(3，0)处的切线；解：y= 2x+4 y(0)=4，y(3)= 2 抛物线在点(0， 3)处切线方程是y=4x 3 在(3，0)处的切线是y= 2x+6 两切线交点是(3 2 ，3)故所求面积为 (7) 高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解 2 dx 3 2x 6 x2 4x 3 dxD 4x 3 x 4x 3 2 3 20320 3 x2dx 3 x2 6x 9 dx 2 3 9 .4 （8） 摆线x=a(t sint
4、)，y=a(1 cost)的一拱 (0 t 2 )与x轴； 解：当t=0时，x=0, 当t=2 时，x=2 a 所以 S 2a ydx a 1 cost da t sint 2 2 a2 1 cost 2 dt 3a2. (8) （9） 极坐标曲线 =asin3； a2 2 解：D=3D13sin3d 2 3a2 1 cos6= 3 2 2 = 3a 13 4 6 2 a2= 4 (9) （10） =2acos； 4a2 解：D=2D1=2 2cos2d 02 1 cos2d =4a 2 2 0 2 112 =4a2 +sin2 2 2 1 =4a2 a2 22 (10) 2 求以下各曲线所围
5、成图形的公共片面的面积： （1） r=a(1+cos)及r=2acos ; 高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解 解：由图11知，两曲线围成图形的公共片面为半径为a的圆，故D=a2 (11) （2） r=2cos及r2=3sin2 解：如图12，解方程组 r=2cos r2=3sin2 得cos=0或tan=3 , 即= 2= 6 (12) D= 613sin2d+ 212 02 2(2cos)d 6 2 = 34cos2 6 +2 1 4 sin4 0 6 = 6 3 已知曲线f(x)=x x2与g(x)=ax围成的图形面积等于9 2 a 2 解：如图13，解方程组 f(
6、x)=x x g(x)=ax 得交点坐标为(0，0)，(1 a，a(1 a) D= 1 a x x2 ax0 ()dx = 1 2 1 a)x2 133 1 a 0 = 1 6 1 a)3 依题意得 16(1 a)3=9 2 得a= 2 (13) 4 求以下旋转体的体积： （1） 由y=x2与y2 = x 3围成的平面图形绕x轴旋转； 高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解 y=x 解： 求两曲线交点 23得(0，0)，(1，1) y=x 34 V= (x x)dx 01 2 11 = 4 x5 45 0 = （14） 20 1 （2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕
7、x轴及y轴旋转； 2 128 解：见图14，Vx= x6dx= 7 0 Vy= 22 y3dy 0 =64 5 8 2 （2） 星形线x2/3+y2/3=a2/3绕x轴旋转； 解：见图15，该曲线的参数方程是： x=acost 0 t 2 ， 3 y=asint 3 由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为 2 Vx=2 ydx 323 =2 (asint)d(acost) 2 72 =6 a 2sintcostdt 0 3 0a = 323 a 105 (15) 5 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。 解：如图16建立直
8、角坐标系，那么图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)， D(A，0)，h 于是得到ED所在的直线方程为：y=x A) a A 高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解 (16) 对于任意的y0，h，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的A aB b半轴为： x1=A y，同理可得该椭圆的另一半轴为： x2=B hh 故该椭圆面积为 A a B b A(y)= x1x2= A B y h h 从而立体的体积为 A A ay B B by dy V= Aydy= () 0h h 0 h h 1 =hbA+aB+2(ab+AB) . 6 6 计算底面是半径为R的
9、圆，而垂直于底面一固定直径的全体截面都是等边三角形的立体体积.见图 17. (17) 解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，那么底面圆周的方程为：x2+y2=R2 过区间 R，R上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，那么该等边三角形的边长为2y，故其面积等于 A(x)= 3 2y)2=y2=3(R2 x2) ( Rx R) 4 R 从而该立体的体积为 V= = R A(x)dx= 3(R2 x2)dx R R 433 R 3 7 求以下曲线段的弧长： （1） y2=2x ，0
10、x2； 1解：见图18，2yy=2 y= y1+y2=1+ 1 从而 yl=2 0 =2 2 2 (18) 2 1+ydx=21+dx y 02 21y 1+yd =2 1+ydy 2 0y0 高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解 =y1+y+ln(y+1+y) 2 0=25+ln(2+5) （2） y=lnx，3x8； 解：l= 1+ydx= 1+ 3 xx 3 = 1+x1+1+x13 3 xdx= 1+x lnx=1+3 2ln2 x（3） y= costdt, t 22； 2 解：l= 2 1+y dx= 2 1+cosxdx 2 2 = 2 2cosx 2x=42 2cosxx2d 022 =42sinx2 2 =4. 8 设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a0求 （1） 星形线所围面积； （2） 绕x轴旋转所得旋转体的体积； （3） 星形线的全长 解：(1)D=4 a ydx=4 asin3td0 (acos3t) 2 =12a2 2sin4tcos2 tdt =12a2 2sin4t sin6 t)dt =328a
