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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学第十章习题课 高等数学第十章习题课 习题课 重积分的 计算 及应用一、 重积分计算的根本方法 二、重积分计算的根本技巧 三、重积分的应用 第十章 高等数学第十章习题课 一、重积分计算的根本方法 累次积分法1. 选择适合的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示干脆或变量分开. 2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌管确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 高等数学第十章习题课 练习P182 2 (3) ; 7; 8 (1), (3) 补充题: 计算积分 所围成. 解答提示
2、: (接下页) 其中D 由 高等数学第十章习题课 P182 2 (3). 计算二重积分其中D 为圆周 提示: 利用极坐标 所围成的闭区域. 0 r R cos D: 2 2原式 y r R cos o D Rx 2 3 R 2 (1 sin 3 ) d 0 3 高等数学第十章习题课 P182 7. 把积分 化为三次积分,及平面 其中 由曲面 所围成的闭区域 .提示: 积分域为 :11 原式 dx d y 1x2 x2 y2 0 f ( x , y , z )d z 高等数学第十章习题课 P182 8 (1) .计算积分 其中 是两个球D2zD1 z z ( R 0 )的公共片面.提示: 由于被
3、积函数缺 x , y , R R 2 利用“先二后一” 计算便当 . 原式 = x o y 00 R 2 z 2 dz 2 z2 R 59 5 R 480 R 2 d xd y z dz R D1 z 2 R 2 2 (2 R z z ) d z R z 2 D d xd y2 2 2z (R z ) dz 高等数学第十章习题课 P182 8 (3).计算三重积分 xoy平面上曲线x 5 所围成的闭区域 . 其中 是由 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 x x 提示: 利用柱坐标 y r cos z r sin 1 r2 x 5 2 zo x5 y : 0 r 10 0 2 2 0 原式 d 0
4、 10 3 250 r dr r 2 d x 3 2 5 高等数学第十章习题课 补充题. 计算积分所围成 . 其中D 由 y 4 提示:如下图 D D2 D1 , 2 o D1 D 2 f ( x, y ) x y 在 D2 内有定义且 D 4 连续, 所以 6 y 2 2x x D ( x y ) d dy y 24 62 D2 ( x y ) d D ( x y ) d 1 12 y ( x y ) d x dy 2 ( x y ) d x y 2 42 4 y 11 543 15 高等数学第十章习题课 二、重积分计算的根本技巧1. 交换积分依次的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算
5、分块积分法 3. 消去被积函数十足值符号 利用对称性 4. 利用重积分换元公式 练习题 P182 1 (总习题十) ; P182 4; P183 8(2), 11 解答提示: (接下页) 高等数学第十章习题课 P182 4. 证明: 0 d y a y m( a x ) a m( a x ) e f ( x)d x (a x)e f ( x)d x 0 0 y 提示: 左端积分区域如图,交换积分依次即可证得.2 2 2 a D y x z ln( x y z 1) P183 8(2). 求 x 2 y 2 z 2 1 d v, 其中 是 由球面 x 2 y 2 z 2 1 所围成的闭区域 .提
6、示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 o x 对称性可知原式为 0. 高等数学第十章习题课 11. 在平匀 的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的平匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 , 问接上去的平匀矩形薄片 的另一边长度应为多少? 提示: 建立坐标系如图. 由对称性知 y 0 , 即有 0 yd x d y D R R d x R2 x2 b yd y 2 3 R R b2 3 2 由此解得 b R 3 yb ? y R2 x2 Do b RR x 高等数学第十章习题课 例1. 计算二重积分 I ( x x ye2 D x2
7、y2 ) d xd y , 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线解: (1) 利用对称性. 围成 .x2 y2 I x 2 d x d y x yeDD d xd y 1 2 2 ( x y ) d xd y 0 2 D 1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0 y D o 1x 高等数学第十章习题课 (2) 积分域如图: 添加辅佐线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,利用对称性 , 得 x y eD1 x2 y2 d xd y 1 1 D2 xyexx 2 y 2 y y x o D2 1 x D1 1 y x dxd y x d x d y 0 02 1 高等数学第十章习
8、题课 例2. 计算二重积分线D D 其中D 是由曲所围成的平面域 . 解: I 5 x d xd y 3 y d xd y积分区域 ( x 1) 2 ( y 2) 2 32 其形心坐标为: x 1 , y 2面积为: 5 x A 3 y A 5 ( 1) 3 2 A 9 形心坐标 1 x x d xd y A D 1 y y d xd y A D 高等数学第十章习题课 例3. 计算二重积分 (1) I sgn( y x 2 )d xd y, D : 1 x 1, y 1 0 D(2) I ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y, 其中D 为圆域D 在第一象限片面. 解: (1) 作辅
9、佐线 y x 把与D 分成2 D1 , D2 两片面, 那么I d xd y D11 1 1 x 1 D1 1 y D2 d xd yx2 o D2 1 x d x 2 d y d x 1 1 0 2 dy 3 高等数学第十章习题课 (2) 提示: I ( x y 2 xy 2) d xd y2 2 D y 1D1 D2 y x 作辅佐线 y x 将D 分成 D1 , D2 两片面 2 D2 ( x y )d xd y 2 d xd yD o 1 x 2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉十足值符号. 高等数学第十章习题课 例4. 交换以下二次积分的依次: y y
10、sin x o解: 如下图 D1 D2 2 x I d x 0 sin x 0 f ( x, y ) d y 2 2 d x 0 sin x f ( x, y ) d y 0 D1 f ( x, y ) d D f ( x, y ) d arcsin yarcsin y dy 1 f ( x, y ) d x2 arcsin y dy 1 0 arcsin y f ( x, y ) d x 高等数学第十章习题课 例5.其中 F (t ) 求 lim 1 x2 y2 z 2 t 2 f ( x2 y2 z 2 ) d x d y d z t 0 t F (t ), 4 解: 在球坐标系下 4 f
11、 (r ) r 2 d r 0 F (0) 0 利用洛必达法那么与导数定义,得 f (t ) f (0) 4 f (t ) t 2 F (t ) lim f (0) lim 4 lim 3 t 0 t t 0 t t 0 4 t t 高等数学第十章习题课 三、重积分的应用1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力 3. 其它方面 证明某些结论等 高等数学第十章习题课 例6. 证明 证:左端 f ( x) dx f ( y ) d y f ( x) f ( y ) dxd ya a b b D 1 2 D f 2 ( x) f ( y ) dxd y2 a x b D: a y b 1 b 2 a dy b 2 b b 2 f ( x ) dx dx f ( y ) d y a a a b a b f 2 ( x) d x b f 2 ( y ) d y 利用 2 a a (b a) f 2 ( x)d
