求极限的方法总结3200字 1．约去零因子求极限x4?1lim例1：求极限x?1x?1【说明】x?1表明x与1无限接近，但x?1，所以x?1这一零因子可以约去x?1)(x?1)(x2?1)【解】lim?lim(x?1)(x2?1)?4x?1x?1x?1x2?2x?1x?3lim习题：lim22x?3x?9 x?1x?12．分子分母同除求极限x3?x2lim3例2：求极限x??3x?1?【说明】?型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求1?x3?x21xlim3?lim?x??3x?1x??3?13x3【解】【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；且一般是趋于无穷的 ．．．．．．．．x．．．．．．．．．．x．．．．．．．??0nn?1ax?an?1x???a0?limnm???m?1x??bx?b???b0?amm?1xn??bnm?nm?nm?n3n?（-5)n3x3?4x2?2lin?1习题 lim3limn??x??7x?5x2?3（-5)n+1 n??3?(?1)n?3nlimnn??2?3n3．分子(母)有理化求极限例1：求极限x???【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
x???lim(x2?3?x2?1)lim(x?3?x?1)?lim22(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x2?3?x2?1【解】?limx???x???2x?3?x?122?0例2：求极限x?0limlim?tanx??sinxx3【解】?limx?0?tanx??sinxtanx?sinx?limx?03x3x?tanx??sinxx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim?33x?0x?024 xx?tanx??sinxlim1【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键习题：x?1xlimx?13x?1?2x?14.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x2?3x?4lim2x?0x?2 【其实很简单的】5.利用无穷小与无穷大的关系求极限 例题x?3【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为0而分母为0时 就取倒数！】6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小例题sinxarctanx, limlix??x??xx7.用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：x当x?0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~e?1,1?cosx~12bx,?1?ax??1~abx2；(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
．．．．．例1：求极限x?0limx?0limxln(1?x)?1?cosx【解】xln(1?x)x?x?lim?2x?0121?cosxx2. limsinx?x3例2：求极限x?0tanx?sinx?xcosx?11sinx?x2x?lim?lim??lim??lim3x?0x?0x?06 x33x23x2【解】x?0tanx2习题12tanx(si)xln(1?3x)xlimlix?0arctan(x2)sinx x?0ex?esinxlimlix?x?0x?sinx1)8.应用两个重要极限求极限11sinx两个重要极限是lim?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，第x??n??x?0x?0xnx1一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现主要考第二个重要极限说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，sin3xlim?1lim(1?2x)?2x?elim(1?)3?e例如：x?03x，x?0，x??；等等x?1?例1：求极限lim?? x???x?1??x1x【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑?数部分。
1，最后凑指X2x?11??xx2?2?1??2?2??x?1??2???lim?lim1??lim1?1??e【解】 ??????x?1??x???x?1x???x?????x?1?x?1?????2??????1?cosx2例2 x?03xlim2sin2解：原式=limx?0xx2sin2?lim?1x?0x263x212?()22x例3lim(1?3sinx)x?01?6sinx?解：原式=x?0 例4n??lim(1?3sinx)?lim[(1?3sinx)x?01?3sinx]?6sinx?e?6lim(n?2n)n?1n?1?3n?3?3?lim(1?)n??n?1解：原式=?3?3?lim[(1?)]?e?3n??n?1n?1?3n1???x?2a?(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求ax???x???x???x?a?习题：xx9.夹逼定理求极限?1?例题：极限lim?2n????n?11n?22????? ?2n?n?1【说明】两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的111????【解】lim?2n???n2?2n2?n?n?1因为?? ??nn?n2?1n?1?lim2?n1n?2?12???1n?n2?nn?12又limnn?n2n??n??n?11n?222?1?所以lim?2n????n?1习题: 证明下列极限?????＝１ ?2n?n?1limn111?1 limn(2?2?...?2)?1n??n??n?2?n?n?10. 数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。
11. .利用xn?1和xn与极限相同求极限例题: 已知x1?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limxnn??解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了 1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的?〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有Xn?a 存在N=[立,所以lim1n!n??1?即可,1?],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/nN时,有Xn≤Yn≤Zn,且limXn?limZn?a,则有n??n??limYn?an??.}的极限.1n1n1?nn2例3:求{1?nn2解: 对任意正整数n,显然有 而??2n2nn2?2n,?0,?0,由夹逼性定理得 1?nn2limn???0.4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单. 例4.求极限lim解：若a?1a?2nn，此时，令则n??有5.单调有界原理 例5.证明数列证： 令我们用归纳法证明若≤２ 则有极限，并求其极限。
易知｛｝递增，且≤2. 显然故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在边取极限得即解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去， 从而6.先用数学归纳法,再求极限. 例6:求极限lim1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n1352n?1解:0???????2462nn??12n?11352n?1???? 2462n242n设S*=???? 则有S