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1、2 2. .9 9函数模型及其应用函数模型及其应用-2-3-知识梳理考点自测1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);(3)反比例函数模型:f(x)= (k为常数,k0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1);(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,a1);(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0);-4-知识梳理考点自测2.指数、对数、幂函数模型的性质比较 单调递增 单调递增
2、 单调递增 y轴 x轴 -5-知识梳理考点自测-6-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)幂函数增长比一次函数增长更快. ()(2)在(0,+)内,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y=x(0)的增长速度. ()(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题. ()(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x(4,+)时,恒有h(x)f(x)0,b1)增长速度越来越快的形象比喻. () -7-知识梳理考点自测2.(教材例题改编P123例1)一个工厂生产一种产品的总成本y(单位:万元)与产量
3、x(单位:台)之间的函数关系是y=0.1x2+10 x+300 (00,y1为增函数,当x=200时,y1取得最大值1 980-200a,即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980-200a)万美元.y2=-0.05(x-100)2+460(1x120,xN*),当x=100时,y2取得最大值460,即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元.-16-考点一考点二考点三考点四(3)为研究生产哪种产品年利润最大,我们采用作差法比较:由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980-200a)万美元,生产乙产品的最大年利润为460万美元,(1 980-200a)-460= 1 520-200a,且6
4、a8,当1 520-200a0,即6a7.6时,投资生产甲产品200件可获得最大年利润;当1 520-200a=0,即a=7.6时,生产甲产品200件或生产乙产品100件均可获得最大年利润;当1 520-200a0,即7.6a8时,投资生产乙产品100件可获得最大年利润.-17-考点一考点二考点三考点四分段函数模型分段函数模型例2(2017江苏如东一中月考)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出
5、飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?-18-考点一考点二考点三考点四解(1)设每团人数为x,由题意得00)的应用的应用例3某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?-23-考点一考点二考点三考点四-24-考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练3(2017江西新余一中检测)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热
6、层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系 (0 x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.-25-考点一考点二考点三考点四-26-考点一考点二考点三考点四指数型、对数型函数模型指数型、对数型函数模型例4某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数
7、;(精确到0.1万人)(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210,log1.0121.215.3)-27-考点一考点二考点三考点四解(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%),2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2,3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3,x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.所以该城市人口
8、总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式是y=100(1+1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100(1+1.2%)10112.7(万人).所以10年以后该城市人口总数约为112.7万人.-28-考点一考点二考点三考点四-29-考点一考点二考点三考点四思考哪些实际问题适合用指数函数模型解决?解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要
9、求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.-30-考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练4声强级Y(单位:分贝)由公式 给出,其中I为声强(单位:W/m2).(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为510-7 W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?-31-考点一考点二考点三考点四-32-考点一考点二考点三考点四1.解函数应用问题的步骤(四步八字)(
10、1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:-33-考点一考点二考点三考点四2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.2.解应用题建模后一定要注意定义域.3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.
