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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑基与维数的几种求法 线性空间基和维数的求法 方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，假设有 n个向量?1,?,?n得志: (1)?1,?2?,?n线性无关。 (2)V中任一向量?总可以由?1,?2,?,?n线性表示。 那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dimv?n，并称 ?1,?2,?,?n为线性空间V的一组基。 假设在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。 例1 设V?XAX?0，A为数域P上m?n矩阵，X为数域P上n维向量，求V的维数和一组基。 解 设矩阵A的秩为r，那么齐次线性方程组
2、AX?0的任一根基解系都是V的基，且V的维数为n?r。 ?0a?例2 数域P上全体形如?对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成?的二阶方阵， ?ab?的线性空间，求此空间的维数和一组基。 解 易证?0a?01?00?为线性空间V?a,b?p,?的一组线性无关的向?10?01?ab?01?00?0a?0a?量组，且对V中任一元素?a?+b? ?有?ab1001?ab?按定义?01?00?,?为V的一组基，V的维数为2。 ?10?01? 方法二 在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。 例3 假定R?x?n是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空
3、间，证明：1,?x?1?,?x?1?,2,?x?1?n?1构成R?x?n的基。 n?1证明 考察k1?1?k2?x?1?由xn?1?kn?x?1?0 的系数为0得kn?0，并代入上式可得xn?2的系数kn?1?0 依此类推便有kn?kn?1?k1?0， 故1,?x?1?,n,?x?1?n?1线性无关 又R?x?的维数为n,于是1,?x?1?,?x?1?n?1为R?x?的基。 n 方法三 利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有一致的维数。 例4 设A?0?1?，证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式f?A?组成的 ?10?0?1?空间V?f?A?A?与复数域C作为实数
4、域R上的线性空间 10?V?a?bia,b?R?同构，并非求它们的维数。 证明 V中任一多项式可记为f?A?=aE?bA,?a,b?R?，建立V到V的如下映射 ?:?1?a1?bi1?f1?A?a1E?b1A?a1,b1?R? 易证?是V到V上的单射，满射即一一映射。 再设?2?a2?b2i, a2,b2?R,K?R，那么有 ?1?2?a1?a2?b1?b2?i?a1?a2?E?b1?b2?A?1?2? ?k?1?ka1?kbi1?ka1E?ka1A?k?x1? 故?是V到V的同构映射，所以V到V同构 另外，易证V的一个基为1，i，故dimV?2 VV ?dimV?2 方法四 利用以下结论确定
5、空间的基： 设?1,?2,?n与?1,?2,?n是n维线性空间V中两组向量，已知?1,?2,?n可由 ?1,?2,?n线性表出： ?an1?n ?1?a11?1?a21?2?2?a12?1?a22?2?n?a1n?1?a2n?2?a11?令A?a21?a?n1假设?1,?2,组基。 ?an2?n ?ann?n a12a22an2a1n?a2n? ann?,?n也是V的一 ,?n为V的一组基，那么当且仅当A可逆时，?1,?2,例5 已知1,x,x,x是p?x?4的一组基，证明1,1?x,?1?x?,?1?x?也是p?x?4的一 2323组基。 证明 由于 1?1?1?0?x?0?x2?0?x3
6、1?x?1?1?1?x?0?x2?0?x3 ?1?x?1?x?2?1?1?2?x?1?x2?0?x3 ?1?1?3?x?3?x2?1?x3 11113且A?012300120001?0 所以1,1?x,?1?x?,?1?x?也为p?x?4的一组基。 方法五 假设空间V中一向量组与V中一组基等价，那么此向量组确定为此空间的一组基。 例6 设R?x?2表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明x?x,x?x,x?1为这空间的一组基。 证明 k1x?x?k2x?x?k3?x?1?0 222223?那么?k1?k2?k3?0?k3?0?k1?k2?0 解得k3?k
7、2?k1?0 2于是x?x,x?x,x?1线性无关，它们皆可由x,x,1线性表示，因此 22x2?x,x2?x,x?1与x2,x,1等价，从而R?x?2中任意多项式皆可由x2?x,x2?x,x?1线 性表示，故x?x,x?x,x?1为R?x?2的基。 22 方法六 利用下面两个定理： 定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不变更矩阵列向量间的线性关系。 定理二：任何一个m?n矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵： ?Ir?0B?，其中Ir表示r阶单位矩阵。 0?依据这两个定理，我们可以很便当地求出V1V2的一个基，从而确定了维数。 例7 设V1?L?1,?2?,V2?L?1,?
8、2?是数域F上四维线性空间的子空间，且 ?1?1,2,1,0?,?2?1,1,1,1?;?1?2,?1,0,1?,?2?1,?1,3,7?.求V1V2的一个基与维 数。 解 若r?V1V2，那么存在x1,x2,?y1,?y2?F，使 r?x1?1?x2?2?y1?1?y2?2（1） 即有x1?1?x2?2?y1?1?y2?2?0（2） 若?1,?2,?1,?2线性无关，（2）仅当x?x2?y1?y2?0时成立 那么V1V2是零子空间，因而没有基，此时维数为0，V1?V2是直和 V2有可能是非零子空间 若存在不全为零的数x1,x2,y1,y2使（2）成立，那么V1若为非零子空间，由（1）便可得到
9、基向量r。 以?1,?2,?1,?2为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准阶梯形矩阵A。 ?1?121?1?21?1?10?A?1103?行初等变换?0?0117?000?1?104?A 013?000?2?1?4?2?3?1 ?r?1?4?2?3?1?2?5,2,3,4?是V1V2的一个基 dim?V1V2?1 同时知，?1,?2是V1的一个基，dimV1?2 ?1,?2是V2的一个基，dimV2?2 ?1,?2,?1,?2是V1?V2的一个基，dim?V1?V2?秩?A?=3 方法七 在线性空间V中任取一向量?，将其表成线性空间V一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是
10、线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。 例8 求V1?L(?1，?2)与V2?L(?1，?2)的交的基和维数。 ?1,0,1)?1?(1,2,1,0)?1?(2，设?，? ?(1，?1,3,7)?(?11,1,1)，?2?2解 任取?V1V2，那么?V1，?x1?1?x2?2，且?V2，?y1?1?y2?2， ?x1?1?x2?2?y1?1?y2?（注：此时虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅 是在V1、V2中的表示，并非此题所求，即要在空间V1?V2中将线性表出） ?x1?1?x2?2?y1?1?y2?0，求x1,x2,y1,y2 ?x1?x2?2y1?y2?0?2x?x?y?y?0?1212 ?x?x?3y?02?12?x2?y1?y2?0解得(x1,x2,y1,y2)?(k,?4k,?3k,k) ?k(?1?4?2)?k(?3?1?2)?k(5,?2,3,4) 故V1V2是一维的，基是(5,?2,3,4) 易知(5,?2,3,4)是非零向量，是线性无关的。 7
