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1、精品资料欢迎下载一元二次方程根与系数的关系一、选择题1. （2011?南通） 若 3 是关于方程x25xc0 的一个根， 则这个方程的另一个根是（）A、 2 B、2 C、 5 D、5 分析：由根与系数的关系，即3 加另一个根等于5，计算得解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x，则 3+x=5，即 x=2故选 B点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得2.（2011 南昌， 9， 3分） 已知 x=1 是方程 x2+bx2=0 的一个根，则方程的另一个根是 （）A.1 B.2 C.2 D.1 分析： 根据根与系数的关系得出x1x2=ac= 2，即可得出另一根的值解答： 解： x=
2、1 是方程 x2+bx2=0 的一个根， x1x2= =2，1 x2=2，则方程的另一个根是：2，故选 C点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键3. （2011 湖北荆州， 9，3 分）关于x 的方程 ax2（ 3a+1）x+2（a+1）=0 有两个不相等的实根 x1、x2，且有 x1x1x2+x2=1 a，则 a 的值是（）A、1 B、 1 C、1 或 1 D、2 分析 ：根据根与系数的关系得出x1+x2= ba，x1x2= ca，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可解答 ：解：依题意0，即（ 3a+1）28a（a+1） 0，即 a22a+1
3、0，（ a1）20，a1 ，关于 x 的方程 ax2（3a+1）x+2（a+1） =0 有两个不相等的实根x1、 x2，且有 x1x1x2+x2=1a，x1x1x2+x2=1a，x1+x2x1x2=1a， 3a+1a 2a+2a=1a，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解得： a= 1，又 a1 ，a=1故选： B点评 ：此题主要考查了根与系数的关系，由x1x1x2+x2=1a，
4、得出 x1+x2x1x2=1a是解决问题的关键4. （2011湖北咸宁， 6，3 分）若关于x 的方程 x22x+m=0 的一个根为1，则另一个根为（）A、 3 B、 1C、 1 D、3 分析： 设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（ 1）=2，解此方程即可解答： 解：设方程另一个根为x1，x1+（ 1）=2，解得 x1=3故选 D点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0 ）的根与系数的关系：若方程的两根分别为 x1，x2，则 x1+x2=，x1?x2=5.（2011?贵港） 若关于 x 的一元二次方程x2mx2=0 的一个根为 1， 则另一个根为 （
5、）A、1 B、 1 C、2 D、 2 分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系x1?x2= 来求方程的另一个根解答： 解：设 x1、 x2是关于 x 的一元二次方程x2mx 2=0 的两个根，由韦达定理，得x1?x2=2，即 x2=2，解得， x2=2即方程的另一个根是2故选 C名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载点评： 此题主要考查了根与系数的关系在利用根与系数的关系x1+x2=
6、、x1?x2= 时，要注意等式中的a、b、c 所表示的含义6. （2011 年四川省绵阳市，12，3 分）若 x1， x2（x1x2）是方程（ xa）（ xb）=1（ab）的两个根，则实数x1，x2，a， b的大小关系为（）A、x1x2ab B、x1ax2b C、x1abx2 D、ax1bx2分析：因为 x1和 x2为方程的两根，所以满足方程（xa）（ xb）=1，再有已知条件x1x2、ab 可得到 x1，x2，a， b 的大小关系解答：解： x1和 x2为方程的两根，（ x1a）（ x1b）=1 且（ x2a）（ x2b）=1，（ x1a）和（ x1b）同号且（ x2a）和（ x2b）同号；
7、x1x2，（ x1a）和（ x1b）同为负号而（x2a）和（ x2b）同为正号，可得：x1 a0 且 x1b0，x1a且 x1b，x1a， x2a0 且 x2 b0，x2a且 x2b，x2b，综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1abx2故选 C点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和 x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负7 （ 2011 年江西省， 5，3 分）已知 x=1 是方程 x2+bx 2=0 的一个根，则方程的另一个根是（）A.1 B.2 C.2 D. 1 分析：根据根与系数的关系得出x1x2=2，即可得出另一根的值解答：
8、解： x=1 是方程 x2+bx2=0 的一个根，x1x2=2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1 x2=2，则方程的另一个根是：2，故选 C点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键8.（2011 湖北武汉， 5，3 分）若 x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0 的两个根，则x1? x2的值是（）A4 B3 C 4 D 3 分
9、析： 根据一元二次方程的根与系数的关系x1?x2=ca解答并作出选择解答： 解：一元二次方程x2+4x+3=0 的二次项系数a=1，常数项c=3，x1?x2=ca=3故选 B点评： 此题主要考查了根与系数的关系解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系 x1?x2=ca中的 a 与 c 的意义二、填空题1. （2011 江苏苏州， 15，3 分）巳知 a、b 是一元二次方程x22x1=0 的两个实数根，则代数式（ ab） （a+b2）+ab 的值等于 _考点：根与系数的关系专题：计算题分析：欲求（ ab） （a+b2）+ab 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即
10、可解答：解： a、b 是一元二次方程x22x 1=0 的两个实数根，ab=1，a+b=2，（ ab） （a+b2）+ab=（ab） （22）+ab=0+ab=1，故答案为： 1点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载经常使用的解题方法2. （2011 江苏镇江常州，12，3 分）已知关于x 的方程 x2+m
11、x6=0 的一个根为2，则 m=1，另一个根是3分析： 根据一元二次方程的解定义，将x=2 代入关于x 的方程 x2+mx6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=ba解出方程的另一个根解答： 解：根据题意，得4+2m6=0，即 2m2=0，解得， m=1；由韦达定理，知x1+x2= m；2+x2=1，解得， x2=3故答案是： 1 3点评： 本题主要考查了一元二次方程的解根与系数的关系在利用根与系数的关系x1+x2=bax1?x2=ca来计算时，要弄清楚abc 的意义3. （2011 山东日照， 14，4 分）如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1 的内接正
12、方形 CDEF，则以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是如： x25x+1=0分析： 连接 AD ， BD ， OD， 由 AB 为直径与四边形DCFE 是正方形，即可证得 ACD DCB ，则可求得AC?BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB 的值，即可得AC+BC=AB ，根据根与系数的关系即可求得答案注意此题答案不唯一解答： 解：连接AD ，BD ，OD，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - -
13、- - 精品资料欢迎下载AB 为直径， ADB=90 ，四边形 DCFE 是正方形，DCAB ， ACD= DCB=90 ， ADC+ CDB= A+ ADC=90 ， A=CDB ， ACD DCB ，BCDCDCAC，又正方形CDEF 的边长为 1，AC?BC=DC2=1，AC+BC=AB ，在 RtOCD 中， OC2+CD2=OD2，OD=25，AC+BC=AB=5，以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是x25x+1=0 故答案为：此题答案不唯一，如：x25x+1=0点评： 此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的
14、应用4. （2011?德州， 14，4 分）若 x1，x2是方程 x2+x1=0 的两个根，则x12+x22= 分析 ：先根据根与系数的关系求出x1+x2和 x1?x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和 x1?x2的值整体代入计算即可解答： 解： x1，x2是方程 x2+x1=0 的两个根，x1+x2=ba=1，x1?x2=ca=1，x12+x22=（ x1+x2）22x1?x2=（ 1）22 （ 1）=1+2=3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -
15、 - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载故答案是： 3点评 ：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式解题的关键是先求出x1+x2和 x1?x2的值5. （2011 四川眉山， 17，3 分）已知一元二次方程y2 3y+1=0 的两个实数根分别为y1、y2，则（ y11） （y21）的值为 1分析： 先根据一元二次方程y23y+1=0 的两个实数根分别为y1、y2，求出 y1+y2及 y1?y2的值，再代入（ y11） （ y2 1）进行计算即可解答： 解：一元二次方程y23y+1=0 的两个实数根分别为y1y2，y1+y2=3，y1?y2
16、=1，（ y11） （y21） ，=y1y2y1y2+1，=y1y2（ y1+y2）+1，=1 3+1，=1故答案为： 1点评： 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a0 ）的两根时， x1+x2=ab，x1x2=ac6. （2011 四川泸州， 16，3 分）已知关于x 的方程 x2+（2k+1）x+k22=0 的两实根的平方和等于 11，则 k 的值为分析 ：由题意设方程x2+（2k+1）x+k22=0 两根为 x1，x2，得 x1+x2=（2k+1） ，x1? x2=k22，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k 值解答 ：解：设方程方程x2+（ 2k+1）x+k22=0 设其两根为x1，x2，得 x1+x2=（2k+1 ） ，x1?x2=k22，=（2k+1）24 （k22）=4k+9 0， k49，x12+x22=11，（ x1+x2）22 x1?x2=11，（ 2k+1）22（k22）=11，解得 k=1 或 3； k49，故答案为k=1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -
