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1、（2016年度）随机过程与排队论班 级：XXXXXXX姓名：XXXXXX学号：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX一步转移概率矩阵收敛快慢的影响因素作者姓名：XXX XXX 指导老师姓名：XXX(西安电子科技大学计算机学院，陕西西安)摘要：根据课程教材排队现象的建模、解析与模拟【西安电子科技大学出版社曾勇 版，第马尔可夫过程中，马尔可夫过程链n时刻的k步转移概率结果，当k=l时，得到一 步转移概率。进而得到一步转移概率矩阵P (Do为研究此一步转移概率矩阵(下称一步矩阵) 的收敛特性以及影响其收敛快慢的因素，使用MATLAB实验工具进行仿真，先从特殊矩阵开始做 起，发现规律，然后向普通矩
2、阵进行拓展猜测，并根据算术理论分析进行论证，最终得出一步 矩阵收敛快慢的影响因素。关键词：一步转移概率矩阵MATLAB仿真猜测一、问题概述我们讨论时一步矩阵的特性应从以下两方面来分析：(1) 矩阵P (n)在满足什么条件时具有收敛特性；对于矩阵P (n),当P (n)=P(n+1)时，我们说此矩阵具有收敛特性，简称矩阵 P (n)收敛。(2)假设一个一步矩阵具有收敛特性，那么其收敛速度与什么有关首先，我们需要明确什么是一步矩阵收敛：对于一般的一步矩阵P、矩阵An+1、矩阵An,假设有：An+1二AnP二An那么称该一步转移矩阵可收敛。二、仿真实验1、仿真环境本次采用的是MATLAB仿真实验软件
3、进行仿真实验2、结果与分析【1】、特殊矩阵：单位矩阵与类单位矩阵从图(1)和图(2)可以看出，单位矩阵不具有收敛特性，类单位矩阵并非单位矩阵但是 经过n次后也变为单位矩阵，所以此矩阵也不具有收敛特性。此类矩阵也易证明其不具有收敛 性。 New to MATLAB ? Watch this Video, see De100000010000001000000100000010000001100000010000001000000100000010000001 Aa3000ans =100010001000000000000000000100010001图(1)单位矩阵00000101000000
4、0100100000001000000010 A*2500ans =100000010000001000000100000010000001图(2)：类单位矩阵【2】、一般单位矩阵0.70000.200000.20000.70000.200000.20000.10000.150000.20000.10000.05000.20000.30000.10000.60000.80000.30000.23000.25000.21000.20000.24000.25000.22000.30000.26000.25000.28000.23000.27000.25000.29000.2700 B*17 B*1
5、7ans = C03ans =0.32590.32590.12410.18520.36470.32590.12420.18530.36470.32590.12420.18530.36470.32590.12420.18530.36470.22190. 22180.22180.22200.25370.25360.25370.25360.25440.25450.25440.25450.27000.27010.27000.2700 B 18 B 18ans = C*4ans =0.32590.32590.32590.32590.32590.32590.32590.32590.12420.12420.
6、12420.12420.18530.18530.18530.18530.36470.36470.36470.36470.22190.22190.22190.22190.25360.25360.25360.25360.25450.25450.25450.25450.27000.27000.27000.2700图(3)： 一般一步矩阵I图(3)： 一般一步矩阵I图(4)： 一般一步矩阵从图(3)和()可以看出他们分别在18次和4次后收敛到一个稳定的值3、根据实验的猜测根据在单位矩阵和一般单位矩阵和一般一步矩阵中得到的结果，可以对得出如下结论：类 单位矩阵、单位矩阵是不具有收敛性的，而一般的一步矩阵
7、是有收敛性的，而且收敛速率有快 有慢。对于上面结论中的状况，我们首先观察如上四个矩阵，不难发现，在矩阵收敛的最终结果矩阵中，其每行和均为1,而且每列上的值均为相同值。最终概率分布结果也是矩阵收敛后的一 行。所以根据上述的结果及分析做出如下猜测：每一列比拟均匀的矩阵收敛速度较快；与类单位矩阵类似的矩阵收敛速度较慢。在极限情况下，有如下情况：1、列相同矩阵已经是收敛矩阵2、已经是是类单位矩阵的，不会收敛。下面是刻画矩阵收敛速度的方法：根据矩阵的行列式的值，当矩阵的行列式的绝对值为1时，矩阵为类单位矩阵，不会收 敛，是收敛最慢的极限。当矩阵行列式为0时，是收敛最快的极限。根据以上分析，行列式值 越接
8、近1,越与类单位矩阵类似，稳定速率越慢。矩阵的行列式值越接近0,收敛越快。作为例证，我们计算一下上述两个矩阵的行列式的值:B =0. 70000. 10000. 20000. 1500000. 20000.2000 det(B)0.10000.05000.20000.30000.10000.60000.80000.30000.23000.25000.21000.20000.24000.25000.22000.30000.26000.25000.28000.23000.27000.25000.29000.2700 det (C)ans =-0.0255ans =-0.0255ans =6.000
9、0e-006图(5)：矩阵B的行列式值图(5)：矩阵B的行列式值图(6)：矩阵C的行列式值从上述的验证中可以看到矩阵B的行列式的绝对值为 而矩阵C的行列式绝对值为6*107-6),远小于行列式B中的值，而正好矩阵B的列值相似度要小于矩阵Co4、分析与证明我们先看类单位矩阵的行列式的值为1而且不难证明所以得一步转移概率矩阵的行列式的值得绝对值都在0,1之间。假设一个n阶一步转移概率矩阵Q其行列式的表达式为：Det (Q) =3,11* (-1)1 et (C (11) +Hi2* (-1)1 2Det (C (12) . +Hin* (-1)1 nDet (C(ln)由上式可以看出，假设列值的差
10、值越大，那么行列式的值就取决于该列的值中的较大的值， 假设行列式的列差值比拟小，那么最终行列式降阶到2阶时，计算得到的值为对角线相减，由于 列值相差小，所以所得到的值也会相对较小，也会比拟靠近0。而差值越大，决定因素也会由列 中较大值决定以此类推，到最后降阶到2阶时起决定因素的系数都为列中的较大值，而最后的 二阶行列式由于差值较大所以计算的结果也会比拟大，整体行列式的值都会靠近1。换个角度 可以将单位矩阵看成1和很多无穷小组成。那么其决定因素就为1,那么其行列式的值就为5、额外的问题与解答在之后的学习中发现一个问题就是我在猜测一步转移概率矩阵是否能收敛的问题上还是考虑的不够全面,虑的不够全面,
11、漏掉了很多重要的问题，我也在这儿举例验证如下:Q=0 1 0； 0 ； 0 1 000.5000000.500001.000001.000000.5000000.500001.000001.000000.50000 det (Q) rank(Q)ans图(7)：矩阵Q的行列式值图(8)：矩阵Q的秩这个3阶的矩阵，也是书上的一个例题的矩阵，这个矩阵并不是上述我说的类单位矩阵或者是单位矩阵。而是一个一般的矩阵，然而这个矩阵是没有方法收敛的其n次的值是在两个值 之间循环跳动的。这个矩阵的det值为0【见上图(7)但是并没有上述验证中的列相同到达 收敛的规律。但是其行列式的值也为0。之后我算了 一下他
12、的秩，发现是2【见上图(8)也就是说秩的值小于阶的值，而我之前举的例子中，秩的值都是等于阶的值。之后我又验证了一个矩阵【见下列图(9) &图(10)：W=；0；0 0 ；0.1000000.10000.10000.200000.10000.10000.20000.40000.10000.70000.60000.60000.70000.1000000.10000.10000.200000.10000.10000.20000.40000.10000.70000.60000.60000.7000 det (W) det (W)ans =图(9)：矩阵W的行列式值 rank (W)ans =图(10)
13、：矩阵W的秩这是一个非满秩的矩阵所以他的行列式的值一定为0。与我上述的结论冲突了，所以我上述的结 论应建立在给出的一步转移概率矩阵为满秩的情况下才能成立。假设不为满秩的话，那么可以算其 各列的方差的平均值来进行比拟，单位矩阵的列平均方差为(n-1) /n而其他的一步转移概率 矩阵那么介于0-(nT)/n之间。参考文献1.曾勇等.排队现象的建模、解析与模拟.西安电子科技大学出版社.2011年9月 2,对于一步转移矩阵收敛快慢的解答.豆丁网.吴广艳等.MATLAB简明实例教程.东南大学出版社.2016年1月3 . Angle Roh等.转移概率矩阵).MBA智库网站.2009年.居余马等.线性代数第二版.清华大学出版社.2002年9月作者简介：XXX：计算机学院计算机科学与技术专业，学号XXXXXXXXXXX； XXX：计算机学院计算机科学与 技术专业，学号XXXXXXXXXXX第二题：分析多服务窗等
