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1、 第第3章章 插值与拟合方法插值与拟合方法 随着社会的进步和收入水平的提高，汽车进入家庭已不再是奢望。但伴随而来的就是交通安全。“珍爱生命，安全出行”，并不仅仅是个口号，它关系到每个驾驶员的安全，也关系到每个驾驶员所在家庭的幸福和安定。驾驶时，车速过快、与前车距离过近，以致来不及刹车或制动距离不足，是造成绝大部分交通事故的主要原因。统计上，刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，即刹车距离为反应距离与制动距离之和。前者指从司机发现问题决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶的距离，后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离.为了了解刹车距离与车速的关系，美国交通部门进行了一系列刹车实验，实验结
2、果见表3-1所示。问若车速分别为37、72英里/小时(分别约60、115Km/h)，问刹车距离是多少？保持多大车距才是安全的？显然，实际观测没有针对这两个点的观测结果，这就需要我们根据已有的观测数据进行估算。进一步地，若要估算车速在区间20,80（英里/小时）内任意一点的反应距离、制动距离和刹车距离，应如何估算。处理此类问题，插值方法与数据拟合方法是两类常见的建模方法3.1插值法3.1.1 问题的提出问题的提出插值问题的一般描述插值问题的一般描述：若已知函数（通常为未知）在给定的个互不相同的观测点上的函数值（通常为实验或观测值），希望寻求某一近似函数,使满足（）则我们称此类问题为插值问题插值问
3、题，近似函数称为插插值函数，值函数，观测点称为插值节点，插值节点，式（）称为插值条件，插值条件，若令,则a,b称为插值区间插值区间。若已找到，则在任一点（）上的函数值就可以由其插值函数近似估计。 那么应该如何构造插值函数呢？从中学的解析几何知识，我们知道：给定平面上两个互不相同的点可以确定一条直线，给定三个互不相同的点可以确定一条抛物线多项式，依此类推。这启示我们用多项式作为插值函数是一个很好的选择。事实上，多项式插值由于其易求导、求积分和足够的光滑性，在很多领域都有广泛的应用。设是个互不相同的观测点，要求一个次数不超过的代数多项式（）使其在插值节点上，满足（）则此类插值问题称为代数插值问题代
4、数插值问题，称为次插值多项式。3.1.2 插值多项式的求法插值多项式的求法1 一般方法一般方法线性插值线性插值：给定两个互不相同的观测点和,求一线性多项式使其通过这两个观测点，即。显然是平面上的一条直线，其表达式可采用两点式或点斜式直接给出，即（）当然，也可以利用代数方程组的方法求出待定参数.由插值条件，通过这两个观测点，故有解此线性方程组，可采用消元法，也可以采用矩阵方法直接求解.详见3.1.3.二次插值：二次插值：给定三个互不相同的观测点，,和，求一个次数不超过2次的多项式使其通过这三个观测点。求解方法与线性插值完全类似，此处不再累述。二次插值又称抛物型插值抛物型插值。次插值多项式：次插值
5、多项式：当大于或等于2时，采用上述方法无法直接给出多项式的表达式，需要求解线性方程组。对次插值多项式的确定，由于多项式中含有+1个待定系数，通常需要给定+1个互不相同的观测点，由此可建立+1元线性方程组，如下式：（）直接解此线性方程组，通常比较麻烦，可通过数学软件(如Matlab)求解。3.1.3 Lagrange多项式插值方法多项式插值方法线性插值：线性插值：任给两个互不相同的观测点，求一个线性次多项式，使其满足插值条件。线性插值多项式可直接给出，如(3.4)式，但为了引出Lagrange插值多项式的构造思想，我们把它重新组合合并前两项，整理后得（）令则线性插值多项式可重写为（）注意到都是线
6、性多项式，二者的线性组合仍然至多是线性多项式。可以验证，由（）定义的线性插值多项式一定满足插值条件，即。且有称为分别对应于插值节点的Lagrange线性插值基函数。线性插值基函数。抛物型插值：抛物型插值：给定三个互不相同的观测点，,和，求一个次数不超过2次的多项式，使其满足插值条件：受Lagrange线性插值构造思想启发，我们类似地构造对应于插值节点的二次插值基函数二次插值基函数 ，使其满足首先确定,由于是二次多项式，且,则易知是二次多项式的根，因此其表达式一定可写为的形式，其中为待定系数。又由,代入上式得于是，可得类似地，可得进而，Lagrange二次插值（抛物型）多项式可表述为（）且也可以
7、很容易地验证上式满足所要求的插值条件。利用构造插值基函数的思想，可非常方便地给出次Lagrange插值多项式的表达式，有兴趣的同学不妨试一下。理论上，只要给出足够多的观测点，就可以构造任意次插值多项式，但高次插值多项式存在着不可控制的数值震荡现象，在实际问题建模中一般不推荐使用。分段低次多项式插值方法：分段低次多项式插值方法：在实际问题观测中，一般会得到很多个观测点的观测结果，采用插值方法近似时，一般采取分段插值的方法。基本思想是：（1）把插值区间划分成若干个小区间；（2）在每一小区间上用低次多项式进行插值；（3）在整个插值区间上就得到一个分段插值函数.假定给出个互不相同的观测点,不妨设分段线
8、性插值分段线性插值：把相邻两个插值节点作为一个插值子区间,则插值区间被划分为个子区间，连接相邻两点得条线段,这些线段组成一条折线, 这条折线就是我们构造的分段分段线性插值函数，线性插值函数，记为，它具有如下特点。（1）在整个插值区间上，连续,但在插值节点上不可导；（2）在第个子区间上，的表达式为分段二次插值：分段二次插值：若,把相邻三个插值节点组成一个插值子区间，则整个插值区间被划分为个子区间。在第个子区间上，共有三个插值节点，为一二次插值多项式，表达式为例例1已知某函数的函数表如下：用线性插值法估算的近似值.解：由于在插值节点之间，故依此二点构造Lagrange线性插值多项式，并代入得即的近
9、似估计值为2.4414.例例2已知观测数据如表3-3所示试用二次插值方法求处的插值.解解：取包含的三个观测点作为插值节点，作二次插值，并令,由(3.8)式，可得=1.89033.2曲线拟合3.2.1 问题提出问题提出 利用插值方法求多项式函数作为未知函数的近似时，要求1、所有插值节点互不相同，否则不可解；2、近似函数曲线必须通过所有观测点。在实际观测或实验中，一般存在以下问题1、为了得到更加准确、合理的观测结果，经常进行多次重复观测，插值节点互不相同的要求已不成立；2、由于在观测过程中，常存在许多随机因素，如身高、体重的测量，受测量设备精度、发型、服装、站立方式等影响，测量结果不可避免地存在误
10、差，甚至由于某些因素，误差很大。因此在考虑观测误差的因素下，要求近似函数曲线一定通过观测点已显得没有必要。因此，只要要求近似函数在观测点上近似地满足插值条件，并使它们的整体误差最小就可以了。3.2.2 基本概念基本概念给定函数(未知)在观测点上的观测值，寻求一近似函数(拟合曲线)，使在所有观测点上，观测值与近似函数的计算值之间的误差总体上尽可能接近零，即要求尽可能反映给定数据点的总体趋势，这就是函数逼近法函数逼近法，也称为曲线拟合法曲线拟合法，称为逼近函数或拟合函数逼近函数或拟合函数，曲线称为拟拟合曲线合曲线.拟合函数的选择范围很广，如多项式，有理函数、指数函数、对数函数、三角多项式等，但具体
11、选择何种函数，应综合多方面因素斟酌确定。比较简单和直观的方法是通过绘制观测点的散点图，进行观察、比较、猜测，然后根据观测结果和误差分析加以确定。3.2.3 最小二乘拟合方法最小二乘拟合方法判断拟合曲线尽可能逼近给定数据点的标准有很多，如使最大偏差达到极小，所有偏差的绝对值之和取极小等，但因求解方法上的复杂性，实际使用起来并不方便，实践中常用的一种曲线拟合方法就是最小二乘拟合方法.对给定的数据点，选取拟合函数，使偏差，的平方和为最小，即：（）从几何意义上讲，就是求拟合曲线，使在给定的点处，计算值与实际观测值的差的平方和最小。这种求近似函数的方法称为离散数据曲线拟合的最离散数据曲线拟合的最小二乘法
12、小二乘法，函数称为这组数据的最小二乘拟合函数最小二乘拟合函数.拟合程度的好坏，可以通过直接计算误差平方和的大小来反映。若拟合函数取为多项式，如取次多项式（）则相应的最小二乘拟合问题就变为：求参数,使（）达到极小。由于拟合函数关于待定系数是线性的，故称该问题为线性最小二乘问题线性最小二乘问题，又由于拟合函数是多项式故也称多项式多项式拟合问题拟合问题。最简单的多项式拟合是和两种情形，分别称为一次多项式拟合（直线拟合）和二次多项式拟合（抛物线拟合）。以下就这两种简单情形，进行详细讨论。3.2.4 拟合直线拟合直线1数学描述给定一组散点图呈线性变化的数据设拟合函数，根据最小二乘准则（）知，要求待定系数
13、,使达到极小。由多元函数极值定理，一个必要条件是两个偏导数等于零，整理得 （）把给定数据全部带入，用消去法解方程组得出这就是线性最小二乘拟合的数学表示，方程（）称为正规方程.引入矩阵记号：则正规方程（）可以表示为 （）正规方程的矩阵表示可以推广到次多项式的最小二乘拟合中，给定的数据，此时的正规方程用矩阵表示为式（），对应的矩阵为：利用正规方程求拟合多项式的系数，可分为如下几个步骤1、输入观测向量2、生成超定矩阵G3、求4、计算5、求解参数向量A。例例3 观察下表数据，根据其分布趋势，进行曲线拟合，使拟合曲线和下列数据点间的偏差平方和达到最小.解：首先作出数据的散点图，如图3-2所示根据上图，数
14、据点近似直线，所以取作为拟合函数根据正规方程求解步骤，分别计算如下(1)输入观测向量：（2）生成超定矩阵G（3）求矩阵的转置（4）计算系数矩阵与右端向量（5）把正规方程重新写成线性方程组的形式求解这个方程组，得a=1.1,b=1.0.即.拟合幂曲线拟合幂曲线1数学描述给定一组散点图呈幂曲线变化的数据，设拟合函数，为固定数，根据最小二乘准则（）知，要极小化最优化的必要条件为导数等于零，即整理得于是，最小二乘拟合幂曲线的正规方程用矩阵表示为（）其中，,解得，其中是幂指数.例例4 观察下表数据，根据其分布趋势，进行曲线拟合，使拟合曲线和下列数据点间的偏差平方和达到最小，并预测时y的值.解：首先利用(
15、x,y)作散点图，如图3-3(a)所示，发现大概呈二次抛物线形式，为验证结果，再利用(x2,y)作图,如图3-3(b)所示，二者呈良好的直线关系。故可以二次幂函数作为拟合函数。取拟合函数形式为，根据（）式，给出求解过程如下：(a)(b)（1）输入并形成观测向量(2)生成超定矩阵G(3)计算(4)求参数a:将x，代入得y=16.1193利用Matlab求解插值与拟合问题3.3.1 利用利用Matlab 求解一维插值问题求解一维插值问题Matlab用于求解一维插值问题的基本函数为interp1，给出了四种插值方法供选择，分别为:最邻近点插值（零次多项式插值）、线性插值、三次插值和三次样条插值，其调
16、用的基本格式为:Interp1(x,y,Cx，Method)其中x,y分别表示为数据点的横、纵坐标向量,x必须单调.Cx为需要插值的横坐标数据(或数组),Cx不能超出x的范围.Method为可选参数,对应于上述四种方法,可从以下四个值中任选一个:nearest-最近邻点插值linear-线性插值spline-三次样条插值cubic-三次插值linear是缺省值.当忽略选项时默认为线性插值.3.3.2 利用利用Matlab 求解曲线拟合问题求解曲线拟合问题1利用正规方程求解，可先把正规方程化为标准矩阵代数方程的形式，然后利用Matlab命令x=Ab2利用多项式拟合函数polyfit()求解： 调用格式：调用格式：A=polyfit(x,y,m)格式说明格式说明：x,y分别对应观测点和观测值，是两个同维向量，m是拟合多项式的次数；返回结果为所拟合的m次多项式的系数向量，排列次序为由幂次从高到低。若要利用所求的拟合多项式估计某些点的函数值，可利用多项式求值函数polyval() 调用格式：调用格式：f=polyval(A,cx)格式说明格式说明：A为多项式函数的系数向量，按幂次由高到低排列，
