高等数学一元函数微分学及其应用课件

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1、第二章Advanced mathematics一元函数微分学及其应用高等数学内容导航第二章第二节 导数的计算法则第三节 微分的概念与应用第四节 微分中值定理及其应用第五节 泰勒中值定理第六节 函数的性态与图形第七节 导数的实际应用第一节 导数的概念及基本求导公式课前导读 我们首先来看几个函数的图像.3图 2-1图 2-2图 2-3 大家会发现，在 处它们都是连续的， 但是前两个函数的图和后一个函数的图像相比， 处有“角点”或“尖点”出现（见图2-1、图2-2），破坏了图形的美感和润滑度，而第三个函数相对来说处比较“光滑”（见图2-3） .课前导读4前面两个函数在 处“导数”不存在，即不可导，而

2、第三个函数在 处是“可导”的. 那么究竟是什么原因会使图形有这样的差别呢? 这就是这一章要研究的内容. 一、 割线与切线 在中学数学中， 圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线” （见图2-4）.yOyOx图 2-4图 2-5 但对于一般曲线， 这样定义是不合适的。例如，直线 与抛物线 只有一个交点（见图2-5）， 但显然不是实际意义下的切线.x下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义.一、 割线与切线 设曲线 : ， ，在曲线 上取点 及点 ， 连接 ， 则 为过点 的割线， 割线的倾角为 （见图2-6）.则割线 的斜率为yxONxy x图 2-6导数的几何意义一、 割线与切线从上面

3、的例子可以看出， 在求切线斜率的过程中， 需要用到极限 当 ， 即 时， 如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限位置上的直线 称为曲线在 点处的切线.xx0此刻切线的斜率即为yxONTxy x图 2-6二、导数的定义定义 设函数 在 的某个邻域内有定义，当 在 处增量为 （ 在该邻域内）时，相应地， 函数有增量 .存在，则称该极限为 在点 处的导数，记为，或如果二、导数的定义这时也称函数 在点 处可导.如果该极限不存在，称函数 在点 处不可导 .特别地，如果 时，也称函数 在点 处的导数为无穷大.二、导数的定义例如，对于函数 在点 处（见图2-7），极限存在.yxO图 2-7而对于函数 在点

4、处（见图2-8），极限不存在.Oxy图 2-8由此可知，函数 在 处不可导，而在 处导数为零，即 .二、导数的定义 导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个更一般性、也更抽象的概念. 是函数 在 上的平均变化率， 它实际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度”.而导数 则反映函数 在点 处的瞬时变化率，二、导数的定义显然，函数 在 处的导数，就是导函数 在 处的函数值 如果 在 内的每一点处均可导，则称 在 内可导. . 由函数的定义就可以得到一个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，即有记作 ， ，或 ，这时 内的每一点都对应一个导数值，二、导数的定义所以

5、例1 求函数 在 处的导数 . 当 由1 变到 时，函数相应的增量为解二、导数的定义 （1）例2 设 存在，试求下列各极限:（1）（2）其中 因为 于是（2）解三、简单函数的求导例3 求 ( 为常数)的导数.解下面根据导数的定义求一些简单函数的导数.三、简单函数的求导例4 求 ( 为正整数)的导数.解一般地，当 ， 有定义时，当 时, 有定义时也有上式成立.例如，取 ，则有 ；即.取 ，则有 .三、简单函数的求导解例5 求 的导数.同理三、简单函数的求导解例6 求 的导数.特别地，当a = 时， ，即以 为底的指数函数的导数就是它本身.三、简单函数的求导解例7 求 的导数.特别地，四、左、右导

6、数下面我们来看 点 处的导数.我们发现这个极限不存在，和右极限所以就像左、右连续的概念一样，我们需引入左、右导数的概念.都是存在的.但是它的左极限四、左、右导数若若存在，则称其为函数 在 处的右导数，记作 ；存在，则称其为函数 在 处的左导数，记作 .四、左、右导数因此， 如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论：现在，我们可回答函数 在 处不可导的原因: 函数 在 处可导的充要条件是 在 处左、右导数存在且相等.四、左、右导数解例8 已知 ，求 及 . 故 .五、切线与法线方程相应地，切线方程为法线方程为 函数 在点 处的导数在几何上表示曲线 在点处切线的斜率法线即为过切点 且与切

7、线垂直的直线.五、切线与法线方程解例9 求曲线 在点 处的切线斜率，并写出切线及法线方程. 曲线 在点 处的切线斜率为，五、切线与法线方程因此，切线方程为，即 ；法线方程为，即 .例9 求曲线 在点 处的切线斜率，并写出切线及法线方程. 六、函数的可导性与连续性的关系定理1 若函数 在 处可导，则函数 在 处必连续.证明 若函数 在 处可导，由定义得 ， 因此，故函数 在 处必连续.六、函数的可导性与连续性的关系 函数连续未必可导， 这说明连续是可导的必要条件.注 例如，函数 在 上连续，但在点 处不可导.这是因为在点 处有即导数为无穷大（导数不存在）. 从图形上看(见图2-9)，在该点处有与

8、 轴垂直的切线 .yxO图 2-9六、函数的可导性与连续性的关系再比如，由 ，得 在 处连续，由不存在，得 在 处不可导。由图形可知（见图2-10），曲线在 附近无限次震荡.y1Oxy=xsin1x-1/1/图 2-10七、函数的和、差、积、商的求导法则定理2 若 、 在点 处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数也都存在，且有（1） ；（2） ；（3） （ ）.七、函数的和、差、积、商的求导法则证明 我们仅证明（2）七、函数的和、差、积、商的求导法则（3）上述公式可简记为（1） ，（2） 若 ， ， 均存在，则 存在，且；.注 .由此可得七、函数的和、差、积、商的求导法则利用商的导数公式

9、可以得到另外四个三角函数的计算公式.；.七、函数的和、差、积、商的求导法则例10 计算下列函数的导数. （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） .七、函数的和、差、积、商的求导法则解（1）（2）（3）七、函数的和、差、积、商的求导法则（4）（5）七、函数的和、差、积、商的求导法则（6）八、反函数的求导法则定理3 如果单调函数 在某一区间 内可导，且 ，则它的反函数 在对应的区间 内也可导，且 由反函数存在定理可知 是单调、连续的，当 x 取得增量 时，（ 单调）.证明有 （ 连续）.当 时，八、反函数的求导法则 因为 可导，且 ，即 ，因此，本定理也可简单叙述为：反函数的导数

10、等于直接函数导数的倒数. 如果单调函数 在某一区间 内可导，且 ，则它的反函数 在对应的区间 内也可导，且定理3八、反函数的求导法则利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函数的导数.是的反函数，因此，在对应的内，有内单调、可导，在且，八、反函数的求导法则同理可得（由于 在 内大于零，故取正号）；（由于 在 内大于零，故取正号）；八、反函数的求导法则内单调、可导，且， 因此，在对应的内，有同理可得是的反函数， 在 九、求导公式与基本求导法则1. 基本求导公式 至此，我们已经求出了所有基本初等函数的导数，且推出了函数的和、差、积、商的求导法则.（2） ；（3） ；（4） ；（1） ；（5） ；（6

11、） ；（7） ；（8） ；九、求导公式与基本求导法则（10） ；（11） ；（12） ；（9） ；（13） ；（14） ；（15） ；（16） .、求导法则若 u 、v 可导，则；.、求导法则解求分段函数的导数时，在每一区间段内的导数可按一般求导法则计算，但在分段要用左、右导数的定义求之.例11 求函数 的导数. 当 时，当 时，由 知，当 时，所以内容导航第二章第一节 导数的概念及基本求导公式第三节 微分的概念与应用第四节 微分中值定理及其应用第五节 泰勒中值定理第六节 函数的性态与图形第七节 导数的实际应用第二节 导数的计算法则课前导读48复合函数的正确分解例如， 由 和 复合而成， 由内

12、函数 和外函数 复合而成. 由 和 复合而成.课前导读49函数的表示方式 函数 表示变量 与 之间的对应关系， 这种对应关系可以用不同的方式表达。 但也有些函数的表达方式不是这样， 如 ， ，通过一个方程确定变量 与 之间的对应关系，这样的函数称为隐函数. 例如， ，用这种方式表达的函数叫作显函数. 课前导读50由参数确定的方程在实际问题中，函数 与自变量 可能不是直接由 表示，而是通过一参变量 来表示，即一、复合函数的求导法则 如果 在点 处可导， 在点 处可导，则复合函数 在点 处可导，且有（即 ）证明其中定理(复合函数的求导法则) 因为 在点 处可导，故即，当 时， 规定 =0 ，一、复

13、合函数的求导法则当 时，用 乘上式两边，当 时，由()式除以 ，故() 如果 在点 处可导， 在点 处可导，则复合函数 在点 处可导，且有（即 ）定理(复合函数的求导法则) 得此时由于 ， ()式也成立.得 .一、复合函数的求导法则 如果 在点 处可导， 在点 处可导，则复合函数 在点 处可导，且有（即 ）定理(复合函数的求导法则) 由 在点处连续(可导连续)知，即故 ，因此，当 时， ，一、复合函数的求导法则比如，若 ， 和 可导，则 复合函数的求导法则也称为链式法则，它可推广到有限个函数复合的情形. 且一、复合函数的求导法则例求下列函数的导数:() ;() ; () ;() ; () ;

14、() ;() ; () () 设 则解一、复合函数的求导法则函数 可以看作由 和 复合而成，故()设 ， 则设 ，则()() 一、复合函数的求导法则熟悉复合函数的求导公式后，可以省去中间变量.（5）（6）一、复合函数的求导法则函数 由 和 及 复合而成，故（7）（8）一、复合函数的求导法则例求 的导数.解一、复合函数的求导法则解例3求函数 的导数.因为 ，所以一、复合函数的求导法则解例4求幂指函数 的导数.由对数的性质可知， ，因此一、复合函数的求导法则解例5已知 可导，求函数 的导数. 由 和 复合而成，由复合函数求导法则可知，即注求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义. 此

15、例中， 表示对 求导，而 表示对 求导.二、高阶导数 如果函数 的导数 仍是 的可导函数，那么就称的导数为函数 的二阶导数，记作，或例如，.、二阶导数的概念，或即、二阶导数的概念解例设 ，求 、二阶导数的概念解例7设 ，求 、二阶导数的概念证明例8证明 满足关系式所以故满足关系式，2、二阶导数的物理意义 另外，再取定一个时刻为计时的零点. 质点于时刻 在直线上的位置的坐标记为 ， 这样，质点的运动完全由某个函数 所确定. 在最简单的匀速直线运动的情形中，质点经过的路程与所用的时间成正比，即 如果是非匀速直线运动，取从 时刻到 这样一段时间间隔，在上质点所走过的路程 有相应增量 ，这段区间上的平

16、均速度 设质点沿直线运动，在直线上给定原点和单位点(表示实数的点)，使直线成为数轴. （2）2、二阶导数的物理意义 若令 ， 即 ，那么 的极限值就精确地反映了质点在时刻这一瞬间运动的快慢程度。 一般地，变速直线运动的速度 就是位置函数 对时间 的导数， 即，或 而加速度 是速度函数 对时间 的变化率，即速度函数，对时间 的导数， 即，或.因此在 时，瞬时速度即为3、 阶导数的计算 一般地，设 如果 的 阶导数仍可导，便称为 的 n 阶导数。；， ， 或 时， 阶导数的记号是 ， ， 或 .二阶及二阶以上的导数均称为高阶导数，称 为一阶导数。其中，三阶导数的记号为 如果函数 具有 阶导数，则 的一切低于 阶的导数均存在. 函数具有 阶导数时，也称 为 阶可导.3、 阶导数的计算解例9求 的 阶导数，当 时（ ），.一般地，3、 阶导数的计算解例10设 ，求，3、 阶导数的计算解例11求 的 阶导数.令 ，.3、 阶导数的计算若 ，则因此，.同样可得 的 阶导数 .例11求 的 阶导数.，3、 阶导数的计算解因此例12求 的 阶导数.，.3、 阶导数的计算定理（高阶导数的运算法则）若 ，