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1、直线的交点坐标与距离公式环节三 点到直线的距离公式探究新知探究新知问题问题1 1PQxyOl答案答案: :探究新知探究新知追追问问1 1答案答案: :PQxyOl探究新知探究新知追追问问2 2答案答案: :PQxyOl探究新知探究新知追追问问3 3答案答案: :PQxyOl探究新知探究新知追追问问4 4答案答案: :PQxyOl探究新知探究新知则PQxyOl探究新知探究新知利用两点间距离公式由此，求得点P到直线l的距离PQxyOl探究新知探究新知追追问问5 5答案答案: :由A=0，d也表示为PQxyOl探究新知探究新知追追问问6 6答案:由B=0，d也表示为PQxyOl探究新知探究新知PQx
2、yOlPQxyOlPQxyOl探究新知探究新知问题问题2 2上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?答案答案: :原因在于，求出的点Q坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂.PQxyOl探究新知探究新知追追问问1 1答案:能否不求出点Q的坐标，推得点到直线的距离公式？设Q(x，y) ，观察两点间距离公式的结构由得将(3)、(4)两边分别平方后相加可得 所以从而探究新知探究新知追追问问2 2答案答案: :与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低. 能否概述简化运算的过程吗?第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然设出点Q的坐
3、标，但是并不求出点Q的坐标，通过整体代换简化了运算.“设而不求”和“整体代换”也是运算中十分常用的方法.探究新知探究新知问题问题3 3答案答案: :向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢?如图，点到直线的距离|PQ|是点与直线上所有点的距离中最短的.PQxyOlM(x,y)探究新知探究新知追追问问1 1答案答案: :PQxyOlM(x,y)探究新知探究新知追追问问2 2答案答案: :由此，与直线l垂直的单位向量探究新知探究新知因为，其中所以（ 5）代入（5）式整理得 .探究新知探究新知问题问题4 4答案答案: :比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量
4、法”两种方法，它们各有什么特点?u“坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式. 坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法. 这里我们用到了设而不求，整体代换的手段.u“向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧性强，但是大大降低了运算量.探究新知探究新知问题问题5 5答案答案: :点到直线距离公式有什么结构特征？公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如
5、果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0. 运算结果与实际相符. 这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.知识应用知识应用例例1 1解：知识应用知识应用例例2 2解：边AB所在直线l的方程为课堂小结课堂小结问题问题6 6答案答案: :你能写出点到直线的距离公式吗？这个公式如何证明？ 公式证明的三种方法各有特点，谈一谈你的体会？u坐标法是解析几何问题中最本质的方法，是通过点的坐标建立方程再计算获得结论.第二种“坐标法”采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思想简化了运算.u向量法利用了投影向量的概念，借助向量运算获得点到直线距离公式. 这个方法十分巧妙，大大降低了运算量，但是需要熟练使用向量的相关知识.敬请各位老师提出宝贵意见！
