《【中考】2017数学汇编专题40——存在性问题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【中考】2017数学汇编专题40——存在性问题含解析（165页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题40:存在性问题一、填空题l、(3分）（201下孝感）如图，将直线y=-X沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A(2, -4)，且与y轴交千点B,在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为卢i,O) 3 Vs ,x 【分析】先作点B关千x轴对称的点B，连接AB，交x轴千P,则点P即为所求，根据待定系数法求得平移后的直线为y=-X -2,进而得到点B的坐标以及点B的坐标，再根据待定系数法求得直线AB的解析式，即可得到点P的坐标【解答】解：如图所示，作点B关千x轴对称的点B，连接AB，交x轴千P,则点P即为所求，设直线y=-X沿y轴向下平移后的直线解析式为y=- x+a, 把A(2,
2、 -4)代入可得，a=-2, :平移后的直线为y=-X -2, 令x=O,则y=-2，即B(0, - 2) .B(0, 2), 设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(2, -4), B(0, 2)代入可得，-4=2K+b，解得k=3,2=b l b=2 :直线AB的解析式为y=- 3x+2, . 、丿。, 2一3,2一3, = x)( IJo . 为y贝, 案,2一3( 。答= yp 令故X 【点评】本题属千最短路线问题，主要考查了一次函数图象与几何变换的运用，解决问题的关键是掌握：在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一
3、点关千直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点二、解答题k2 l、(8分）（201下舟山）如图，一次函数y=k,x+b(k, O)与反比例函数y=-(K2X #0)的图象交千点A( -1, 2), B (m, -1). (1)求这两个函数的表达式；(2)在x轴上是否存在点P(n, 0) (nO),使6ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由x 【分析】(l)利用待定系数法即可解决问题；(2)分三种情形讨论当PA=PB时，可得(n+l)2+4= (n -2) 2+1.当AP=AB时，可得22+(n+ 1) 2= C3,.z) 2.当BP=BA时，可得12+
4、(n -2) 2= (3J2) 2分别解方程即可解决问题；k 【解答】解：（1)把A(-L 2)代入y=二红得到K2=2,:反比例函数的解析式为y=-乌.B ( m, -l )在Y=呈上，X :.m=2, X 由题意2一言1，解得:-1,:一次函数的解析式为y=-x+l. (2).A (-L 2), B (2, - 1), .AB=3, G)当PA=PB时，（n+1) 2+4= (n -2) 2+ 1, : .n=O, :n O, :.n=O不合题意舍弃当AP=AB时，22+(n+ 1) 2= (3-./2)气: n O, : . n= -1笚当BP=BA时，l红Cn-2) 2= (32)气:
5、n O, .n=2石-;.X 综上所述，n=-1+寸百或2石:;.【点评】本题考查反比例函数综合题一次函数的性质、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，屈千中考常考题型2、(12分）（201下绍兴）已知6ABC,AB=AC, D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE,设乙BAD=a,乙CDE=p.(1 )如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上CD如果乙ABC=60,乙ADE=70,那么a=20 ,P= 10 ,求a,p之间的关系式(2)是否存在不同千以上中的a,p之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个
6、即可）；若不存在，说明理由A-B D c 【分析】(1)(D先利用等腰三角形的性质求出 乙DAE,进而求出乙BAD,即可得出结论；利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；(2)(D当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同(1)的方法即可得出结论；当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同( 1 )的方法即可得出结论【解答】解：（1)(D？AB=AC,乙ABC=60,:.乙BAC=60,.AD=AE,乙ADE=70,:.乙DAE=l80-2乙ADE=40,:.a乙BAD=60- 40=20, :. LADC乙BAD乙ABD=60+20=80邓乙CDE乙ADC-乙ADE=l0,
7、故答案为：20,10; 设乙ABC=x,乙AED=y,：乙ACB=x,乙AED=y,在6.DEC中，y=p+x,在6.ABD中，a+x=y+p=p+x+p,:.a=2p; (2) O当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图l设乙ABC=x,乙ADE=y,乙ACB=x,乙AED=y,在丛ABD中，x+a=-y, 在丛DEC中，x+y+=180, :. a=2 - 180, 当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2,同CD的方法可得a=l80- 2. E D B 图2c B D c 图1- Ad B c 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，
8、解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式，难点是画出图形，是一道基础题目3、(16分）（201下毕节市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1, 0), B (4, 0), C (0, -4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P,使丛POC是以oc为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，6PBC面积最大，求出此时P点坐标和6PBC的最大面积V” 【分析】（ l )由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由题意可知点P在线段oc的垂直平分线上，则
9、可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；(3)过P作PE上x轴，交x轴千点E,交直线BC千点F,用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出6.PBC的面积，利用二次函数的性质可求得6.PBC面积的最大值及P点的坐标【解答】解：( 1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,a-b+c=O f a=l 把A、B、C三点坐标代入可得：一44b+c=0，解得：:抛物线解析式为y=x2-3x -4; (2)作oc的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线千点P,如图1, V x 图1:.PO=PD,此时P点即为满足条件的点，, oo ( CD . . . , , 、/）42 - :.p点纵坐
10、标为2,代入抛物线解析式可得x2- 3x - 4= -2,解得x主丈巨（小千O,舍去）或2 x= 3妇2 上存在满足条件的P点，其坐标为(3寸百，2 (3)？点P在抛物线上，:可设p(t, t2 -3t -4) -2); 过P作PE.lx轴千点E,交直线BC千点F,如图2,V : . g. 图2.B (4, 0), C (0, X -4), ：直线BC解析式为y=x-4, .F (t, t -4), :.PF= Ct - 4) -(t2 - 3t - 4) = - t2+4t, :,S1:,.PBc=S战Fc+S1:,.PFB上PFOE+上平BE上PF(OE+BE)上PFOB上（t2+4t)2
11、 2 2 2 2 X 4= - 2 (t - 2) 2+8, :当t=2时，S1:.PBC最大值为8，此时t2-3t - 4= -6, :当P点坐标为(2,-6)时，6PBC的最大面积为8.【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出P点的位置是解题的关键，在(3)中用P点坐标表示出丛PBC的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中4、(14分）（201下日照）如图所示，在平面直角坐标系中，0C经过坐标原点O,且与x轴，y轴分别相交千M(4, 0), N (0,
12、3)两点已知抛物线开口向上，与0C交千N,H, P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.(1)求线段CD的长及顶点P的坐标；(2)求抛物线的函数表达式；(3)设抛物线交x轴千A,B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S1:.QAB，且丛QABC/.)丛OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由V r1111 p 【分析】（ 1)连接OC,由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt丛OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；(2)可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线
13、解析式；(3)由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S四边形OPMN=8Sb.QAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明6QABOAOBN即可【解答】解：(1)如图，连接OC,y r, p .M (4, 0), N CO, 3), .OM=4, ON=3, :.MN=5, :.oc上MN旦，2 2 :co为抛物线对称轴，:.OD=MD=2, 在Rt凶OCD中，由勾股定理可得CD=了言了2=声尸:厂纭立，2 2 :.PD=PC -CD且立1,2 2 :.P (2, -1); (2)？抛物线的顶点为P(2, - 1), :设抛物线的函数表达式为y=a(x - 2
14、) 2 -1, ？抛物线过N(0, 3), .3=a (0-2) 2-1,解得a=l,:抛物线的函数表达式为y=( X -2) 2 -1,即y=x2-4x+3; (3)在y=x2-4x+3中，令y=O可得O=x2-4x+3,解得x=l或x=3,.A CL O), B (3, O), .AB=3 -1=2, .ON=3, OM=4, PD=L 1 1 1 1 :.s四边形OPMN=S心OMP+S心0MN=-=-OMPD+2:.0MON=. : . .X4 X 1+.:.X4X 3=8=8S丛QAB,2 2 2 2 :. S1:,.QAB=l, 设Q点纵坐标为y,则上X2Xlyl=L解得y=l或y
15、=-1, 2 当y=l时，则6QAB为钝角三角形，而60BN为直角三角形，不合题意，舍去，当y=-1时，可知P点即为所求的Q点，:o为AB的中点，.AD=BD=QD, :.l:,.QAB为等腰直角三角形，:oN=OB=3, :丛OBN为等腰直角三角形，:丛QAB(/)丛OBN,综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(2,- 1). 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及勾股定理、垂径定理、待定系数法、相似三角形的性质和判定、二次函数的性质等知识在(1)中利用垂径定理得到0D=2,从而求得CD的长是解题的关键，在(2)中注意设抛物线的顶点式更容易求解，在(3)中求得Q点的纵坐标是解题的关键本题考查
16、知识点较多，综合性较强，难度适中5、(13分）（201下烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交千A,B两点，与y轴交千点C,AB=4,矩形OBDC的边CD=l,延长DC交抛物线千点E.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH.lEO,垂足为H.设PH的长为I,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M,使得以M,A, C, N为顶点的匹边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由二II l. V3 : 01 B x . . . . . 图1图2【分析】(1)由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知乙PGH=45,用m可表示出PG的长，从而可表示出1的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；(3)分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过 M作对称轴的垂线，垂足为F,则可证得丛MFN兰丛AOC,
