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1、第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 两边对 x 求导(含导数 的方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求由方程在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0
2、 时 y = 0 , 故确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求椭圆在点处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 对幂指函数可用对数求导法求导 :说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,两边取对数两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, 对 x 求导两边取对数机动 目录 上页 下页
3、返回 结束 二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 ?例例4. 设, 且求已知解解:练习练习: P111 题8(1)解解:注意注意 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大
4、小再求速度方向 (即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设由方程确定函数求解解: 方程组两边对 t 求导 , 得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、相关变化率三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 一气球
5、从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: 对 t 求导已知求机动 目录 上页 下页 返回 结束 试求当容器内水例例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面
6、上升的速度.解解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的两边对 t 求导而故体积为 V , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 求螺线在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束
7、 2. 设求提示提示: 分别用对数微分法求答案答案: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设由方程确定 , 解解: 方程两边对 x 求导, 得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 求其反函数的导数 .解解: 方法方法1方法方法2等式两边同时对 求导备用题备用题1. 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 求解
8、解： 2. 设方程组两边同时对 t 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束 的微分微分,
9、定义定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理: 函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知在点 可微 , 则故在点 的可导, 且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导, 且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 : 函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导, 且即“充分性充分性” 已知即在点 的可导, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当机动 目录 上页 下页 返回
10、结束 微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分, 记作记机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,基本初等函数的微分公式 (见 P115表)又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设求 解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说
11、明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 .解解: 设取则例例4. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 .解解:例例5. 计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增
12、量因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设测得圆钢截面
13、的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式圆钢截面积 ,解解: 计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为试估计面积的误差 . 计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 (mm)内容小结内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点处的及并说明其正负 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设由方程确定,解解: 方程两边求微分, 得当时由上式得求6
14、. 设 且则机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12习题课 目录 上页 下页 返回 结束 1. 已知求解解：因为所以备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边求微分, 得已知求解解：2.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第二章 一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数 :
15、当时,为右导数当时,为左导数 微分微分 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 关系关系 : 可导可微( 思考 P124 题1 ) 应用应用 :(1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊函数在特殊点处的导数;3) 由导数定义证明一些命题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.设存在,求解解: : 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.若且存在 , 求解解: 原式 =且联想到凑导数的定义式机动 目录
16、 上页 下页 返回 结束 例例3.3.设在处连续,且求解解:思考思考 : P124 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.设试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求解解: :得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 是否为连续函数 ?判别判别:机动 目录 上页 下页 返回 结束 设解解:又例例5.所以 在处连续. 即在处可导 .处的连续性及可导性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间接求导法;利用莱布尼兹公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.6.设其中可微 ,解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7.且存在, 问怎样选择可使下述函数在处有二阶导数.解解: 由题设存在, 因此1) 利用在连续, 即得2) 利用而得
