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1、环节一 导数与函数的单调性引入新课问题1：图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4. 9t2+4. 8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h(t)=-9. 8t+4. 8的图象，a=2449，b是函数h(t)的零点. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学角度刻画这种区别？abthO(1)btvO(2)答案：从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即t(0,a)，h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h(t)0. 从最高点到入水，运动员的重心
2、处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即t(a,b)，h(t)单调递减. v(t)=h(t)0，h(t)单调递增；在区间(a,b)上，h(t)0. (2) 在(-,0)上， f(x)单调递减， fx=2x0. (3) 在(-,0)上， f(x)单调递增， fx=3x20; 在(0,+)上， f(x)单调递增， fx=3x20. (4) 在(-,0)上， f(x)单调递减， fx=-1x20; 在(0,+)上， f(x)单调递减， f(x)=-1x20，则f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)图象也是上升的
3、，函数在x=x0附近单调递增. 在x=x1处，f(x1)0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)图象也是下降的，函数在x=x1附近单调递减. 结论：函数f(x)的单调性与导函数f(x)的正负之间的关系：在某区间(a,b)上，如果f(x)0，那么f(x)在此区间上单调递增；在某区间(a,b)上，如果f(x)0，则区间(a,b)上任意的x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么从函数单调性的定义说明函数在该区间上单调递增；从图象上直观发现，在该区间上，对于每条割线，总有一条切线和它平行，因此，如果f(x)在某区间上导数大于0，则在此区间上任意两点连成割线的斜率一定大于0，从而说明
4、原函数在这个区间上单调递增. 同理可论证在某区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在此区间上单调递减；追问2：如果函数f(x)在区间(a,b)上恒有f(x)=0，那么函数 f(x)有什么特性呢？答案：此时函数f(x)是常值函数. 知识应用例1：已知导函数f(x)的信息如下：当1x0；当x4时，f(x)0；当x=1，或x=4时，f(x)=0. 试画出函数f(x)图象的大致形状. 解：当1x0，可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；当x4时，f(x)0，可知f(x)在区间(-,1)和(4,+)上单调递减；当x=1，或x=4时，f(x)=0. 综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示.
