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1、热点专题突破系列(三)数列的综合应用考点考点考情分析考情分析等差数列与等等差数列与等比数列的综合比数列的综合问题问题等差、等比数列相结合的问题是高考考查的等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点重点, ,考查方式主要有考查方式主要有: :(1)(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前通项公式、前n n项和公式、等差项和公式、等差( (比比) )中项、中项、等差等差( (比比) )的性质的性质; ;(2)(2)重点考查基本量重点考查基本量( (即即“知三求二知三求二”, ,解方解方程程( (组组)的计算以及灵活运用等差、等比数的计算以及灵活运用等差
2、、等比数列的性质简化解决问题列的性质简化解决问题考点考点考情分析考情分析数列与函数的数列与函数的综合问题综合问题数列与函数的特殊关系数列与函数的特殊关系, ,决定了数列与函数决定了数列与函数交汇命题的自然性交汇命题的自然性, ,是高考命题的易考点是高考命题的易考点, ,考考查方式主要有查方式主要有: :(1)(1)以函数为载体以函数为载体, ,考查函数解析式的求法考查函数解析式的求法, ,或者利用函数解析式给出数列的递推关系、或者利用函数解析式给出数列的递推关系、数列前数列前n n项和的计算方法项和的计算方法; ;(2)(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命根据数列是一种特殊的函数这一特点命
3、题题, ,考查利用函数的单调性来确定数列的单考查利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题调性、最值或解决某些恒成立问题考点考点考情分析考情分析数列与不等数列与不等式的综合问式的综合问题题数列与不等式的综合问题是高考考查的热点数列与不等式的综合问题是高考考查的热点. .考考查方式主要有三种查方式主要有三种: :(1)(1)判断数列问题中的一些不等关系判断数列问题中的一些不等关系, ,如比较数如比较数列中的项的大小关系等列中的项的大小关系等; ;(2)(2)以数列为载体以数列为载体, ,考查不等式的恒成立问题考查不等式的恒成立问题, ,求求不等式中的参数的取值范围等不等式中的参
4、数的取值范围等; ;(3)(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题考查与数列问题有关的不等式的证明问题数列的实际数列的实际应用问题应用问题此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款等客观背景进行设置分期付款等客观背景进行设置, ,它不仅涉及数列它不仅涉及数列中的基本知识和方法中的基本知识和方法, ,还往往涉及其他学科的知还往往涉及其他学科的知识和常识识和常识考点考点1 1 等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题【典例典例1 1】(2014(2
5、014湖州模拟湖州模拟) )已知已知aan n 是单调递增的等差数列是单调递增的等差数列, ,首项首项a a1 1=3,=3,前前n n项和为项和为S Sn n, ,数列数列 b bn n 是等比数列是等比数列, ,首项首项b b1 1=1,=1,且且a a2 2b b2 2=12,S=12,S3 3+b+b2 2=20.=20.(1)(1)求求aan n 和和 b bn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)令令c cn n= =S Sn ncos(acos(an n)(nN)(nN* *),),求求 c cn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .【解题视点解题视点】(1)(1)
6、利用利用“基本量法基本量法”, ,用首项和公差用首项和公差( (比比) )表示已表示已知等式知等式, ,解得公差解得公差( (比比),),再用通项公式求解再用通项公式求解. .(2)(2)用用(1)(1)的结论表示出的结论表示出c cn n, ,再分再分n n是偶数与是偶数与n n是奇数两种情况讨论是奇数两种情况讨论求和求和. .【规范解答规范解答】(1)(1)设数列设数列aan n 的公差为的公差为d,d,数列数列 b bn n 的公比为的公比为q,q,则则a a2 2b b2 2=(3+d)q=12,=(3+d)q=12,S S3 3+b+b2 2=3a=3a2 2+b+b2 2=3(3+
7、d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2 2=12,=12,即即3d3d2 2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因为因为aan n 是单调递增的等差数列是单调递增的等差数列, ,所以所以d0,d0,所以所以d=3,q=2,d=3,q=2,a an n=3+(n-1)=3+(n-1)3=3n,b3=3n,bn n=2=2n-1n-1. .(2)(2)由由(1
8、)(1)知知c cn n=S=Sn ncos3n=cos3n=当当n n是偶数时是偶数时, ,T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+ +c+cn n=-S=-S1 1+S+S2 2-S-S3 3+S+S4 4- -S-Sn-1n-1+S+Sn n=a=a2 2+a+a4 4+a+a6 6+ +a+an n=6+12+18+=6+12+18+3n=+3n=当当n n是奇数时是奇数时, ,T Tn n=T=Tn-1n-1-S-Sn n= =- (n+1)=- (n+1)2 2. .综上可得综上可得, ,T Tn n= =【规律方法规律方法】等差数列、等比数列综合等差数列、等比数列
9、综合问题的解题策略问题的解题策略(1)(1)分析已知条件和求解目标分析已知条件和求解目标, ,确定为最终解决问题需要首先求确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题解的中间问题, ,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差求出首项和公差( (公比公比) )等等, ,确定解题的顺序确定解题的顺序. .(2)(2)注意细节注意细节. .在等差数列与等比数列综合问题中在等差数列与等比数列综合问题中, ,如果等比数如果等比数列的公比不能确定列的公比不能确定, ,则要看其是否有等于则要看其是否有等于1 1的可能的可能, ,在数列的通在数列的通项问题中第
10、一项和后面的项能否用同一个公式表示等项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等, ,这些细这些细节对解题的影响也是巨大的节对解题的影响也是巨大的. .提醒提醒: :在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论, ,分类解决问题后还要注意结论的整合分类解决问题后还要注意结论的整合. .【变式训练变式训练】(2014(2014金华模拟金华模拟) )在等比数列在等比数列aan n 中中, ,已知已知a a1 1=3,=3,公比公比q1,q1,等差数列等差数列 b bn n 满足满足b b1 1=a=a1 1,b,b4 4=a=a2 2,b,b1
11、313=a=a3 3. .(1)(1)求数列求数列aan n 与与 b bn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)记记c cn n=(-1)=(-1)n nb bn n+a+an n, ,求数列求数列 c cn n 的前的前n n项和项和S Sn n. .【解析解析】(1)(1)设等差数列设等差数列 b bn n 的公差为的公差为d.d.由已知得由已知得:a:a2 2=3q,a=3q,a3 3=3q=3q2 2, ,b b1 1=3,b=3,b4 4=3+3d,b=3+3d,b1313=3+12d,=3+12d,所以此时所以此时d=2,d=2,所以所以a an n=3=3n n,b,bn
12、 n=2n+1.=2n+1.(2)(2)由题意得由题意得: :c cn n=(-1)=(-1)n nb bn n+a+an n=(-1)=(-1)n n(2n+1)+3(2n+1)+3n n, ,S Sn n=c=c1 1+c+c2 2+ + +c cn n=(-3+5)+(-7+9)+=(-3+5)+(-7+9)+(-1)+(-1)n-1n-1(2n-1)+(-1)(2n-1)+(-1)n n(2n+1)+3+3(2n+1)+3+32 2+ +3+3n n, ,当当n n为偶数时为偶数时, ,S Sn n= =当当n n为奇数时为奇数时, ,S Sn n=(n-1)-(2n+1)+=(n-1
13、)-(2n+1)+所以所以S Sn n= =【加固训练加固训练】在公差为在公差为d(d0)d(d0)的等差数列的等差数列aan n 和公比为和公比为q q的等比数列的等比数列 b bn n 中中,a,a2 2=b=b1 1=3,a=3,a5 5=b=b2 2,a,a1414=b=b3 3. .(1)(1)求数列求数列aan n 和和 b bn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)令令c cn n= =a an nb bn n, ,求数列求数列 c cn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .【解析解析】(1)(1)因为因为a a2 2=b=b1 1=3,a=3,a5 5=b=b2
14、2,a,a1414=b=b3 3, ,所以所以解之得解之得 所以所以a an n=2n-1,b=2n-1,bn n=3=3n n. .(2)(2)因为因为c cn n=a=an nb bn n=(2n-1)=(2n-1)3 3n n. .所以所以T Tn n=1=13+33+33 32 2+5+53 33 3+ +(2n-1)+(2n-1)3 3n n, ,所以所以3T3Tn n=1=13 32 2+3+33 33 3+ +(2n-3)+(2n-3)3 3n n+(2n-1)+(2n-1)3 3n+1n+1, ,所以所以-2T-2Tn n=3+2=3+23 32 2+2+23 33 3+ +2
15、+23 3n n-(2n-1)-(2n-1)3 3n+1n+1, ,所以所以-2T-2Tn n=3+2(3=3+2(32 2+3+33 3+ +3+3n n)-(2n-1)-(2n-1)3 3n+1n+1=3+2=3+2 -(2n-1) -(2n-1)3 3n+1n+1, ,所以所以T Tn n=3+(n-1)=3+(n-1)3 3n+1n+1. .考点考点2 2 数列与函数的数列与函数的综综合合问题问题【典例典例2 2】(12(12分分)(2013)(2013安徽高考安徽高考) )设设数列数列aan n 满满足足a a1 1=2, =2, a a2 2+a+a4 4=8,=8,且且对对任意任
16、意nNnN* *, ,函数函数f(x)=(af(x)=(an n-a-an+1n+1+a+an+2n+2)x+a)x+an+1n+1cosxcosx-a-an+2n+2sinx,sinx,满满足足ff =0.=0.(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项项公式公式. .(2)(2)若若b bn n= = 求数列求数列 b bn n 的前的前n n项项和和S Sn n. .【解题视点解题视点】(1)(1)由由f =0f =0证得证得aan n 是等差数列是等差数列.(2).(2)求出求出 b bn n 的通项公式的通项公式, ,利用等差、等比数列的求和公式计算利用等差、等比数列的求和公式计算. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题设可得由题设可得, ,f(xf(x)=a)=an n-a-an+1n+1+a+an+2n+2-a-an+1n+1sinx-sinx-a an+2n+2cosx,cosx,对任意对任意nNnN* *,f =a,f =an n-a-an+1n+1+a+an+2n+2-a-an+1n+1=0,=0,即即a an+1n+1-a-an n= =a an+2n+2-
