《（江苏专用）2022届高考数学一轮复习 第十五章 第2讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2022届高考数学一轮复习 第十五章 第2讲（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本文格式为Word版，下载可任意编辑（江苏专用）2022届高考数学一轮复习 第十五章 第2讲 第2讲 矩阵与变换 分层训练A级 根基达标演练 (时间：30分钟 总分值：60分) 32 1(2022江苏卷)求矩阵A? ?的逆矩阵 ?21? xy解 设矩阵A的逆矩阵为?z w?， ? 32xy10那么?2 1? ?z w?0 1?， ? ?3x2z 3y2w?1 即?2xz 2yw?0 3x2z1，?2xz0，故?3y2w0，?2yw1， 0?1? ?. x1， ?y2，解得?z2， ?w3. 121 从而A的逆矩阵为A?2 3?. ? 2022 2(2022江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设椭
2、圆4xy1在矩阵A? ?对应的 ?01?变换作用下得到曲线F，求F的方程 解 设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P(x0， y0)那么有 ?x02x0?x0?2 0? ?x0?，即?y0?01?y0?y0y0? 2 2 x0?x0，2?y0y0. 2 2 又点P在椭圆上，故4x0y01，从而x0y01. 曲线F的方程是xy1. 1ac220 3已知矩阵M? ?，N? ?，且MN? ?. ?b1?0d?20?(1)求实数a、b、c、d的值； (2)求直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程 2 2 1 c02，?2ad0， 解 (1)由题设
3、得：?bc02， ?2bd0. a1， ?b1，解得?c2， ?d2. (2)矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)， 可取直线y3x上的两点(0,0)，(1,3)， 11001112 由?1 1? ?0?0?，?1 1? ?3?2?， ? 得点(0,0)，(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(2,2) 从而，直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为yx. cos sin 4(2022苏北四市调研一)若点A(2,2)在矩阵M?sin cos ?对应变换的作用下 ?得到的点为B(2,2)，求矩阵M的逆矩阵 22 解 由题意，知M?， ?2?2?2cos 2
4、sin 2即?2sin 2cos ?2?， ? ?cos sin 1，? ?sin cos 1，? ?cos 0， 解得? ?sin 1.? 01 M?1 0?. ? 100111 由MM?0 1?，解得M?1 0?. ?5(2022南通调研)已知二阶矩阵A? ?a ?c b?d? ?，矩阵A属于特征值11的一个特征向 ? 1?3? 量为a1?，属于特征值24的一个特征向量为a2?，求矩阵A. ?1?2? 解 由特征值、特征向量定义可知，Aa11a1， 即? ?a ?c b? 1? ?ab1，? 1? ?1，得? ?d?1?1?cd1. ?3a2b12，? 同理可得? ?3c2d8. 解得a2
5、，b3，c2，d1. 因此矩阵A? ?2 ?2 3?1? ?. 31 6(2022扬州调研)已知矩阵M?1 3?，求M的特征值及属于各特征值的一个特征 ?向量 2 31解 由矩阵M的特征多项式f()? ?1 3? ? (3)2 10，解得12，24，即为矩阵M的特征值 设矩阵M的特征向量为?x? ?y? ， 当M?x?y?2?x? ?xy0，12时，由?y?，可得? ? xy0. 可令x1，得y1， ?1? 1?1? 是M的属于12的特征向量 当4时，由M?x?xy0，?y?4?x? 2?y?，可得? ?xy0， ? 取x1，得y1， ? 1? 2?1? 是M的属于24的特征向量 分层训练B级
6、 创新才能提升 1(2022南京模拟)求曲线C：xy1在矩阵M? 1 1? ?1 1? 对应的变换作用下得到的曲线C1的方程 解 设P(x0，y0)为曲线C：xy1上的任意一点， 它在矩阵M? 1 1?1 1? ?对应的变换作用下得到点Q(x，y) 由? 1 1?x0?x?x0y0x?1 1? ?y?，得? ， 0?y? x0y0y. ?x0 xy2，解得? ?y0 xy2. 由于P(x0，y0)在曲线C：xy1上，所以x0y01. 所以 xyxy222 1，即xy2 4. 所以所求曲线C2 2 1的方程为xy4. 2已知矩阵A? 1 0? 2?，B?0 1?1 ?0 ?1 0? ，求(AB)
7、. 3 ?1 解 AB? ?0 设(AB)? 1 0?0 1?0 1? ?. 2?1 0?2 0? ?a ?c b?d? ?， 0?1? ?1 那么由(AB)(AB)? ?0 1 ?， 0?1? ?0 1?a 得? ?2 0?c b?1 ?d?0 ?c d?1 ?，即?1?2a 2b?0 0? ?， ?d0， 所以?2a0， ?2b1， c1， 2 ?b1， 2解得?c1，?d0. 0? a0， 1 ?0 1? 12?. 故(AB)? ?1 0? ?a 3(2022福建卷)设矩阵M? ?0 b? ?(其中a0，b0) (1)若a2，b3，求矩阵M的逆矩阵M； (2)若曲线C：xy1在矩阵M所对
8、应的线性变换作用下得到曲线C：y1，求 4 2 x2 2 a、b的值 解 (1)设矩阵M的逆矩阵M? 1 ?x1 y1? ?， ?x2 y2? ?1 那么MM? ?0 1 0?1? ?. 0?x1 y1?1 ? ?3?x2 y2?0 0?1? ?2 又M? ?0 0? ?2 ?.?3?0 ?. 2x11,2y10,3x20,3y21， 11 即x1，y10，x20，y2， 23 0?1 2?. ?0 1?3?故所求的逆矩阵M1 (2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x， ?a y)，那么? ?0 ?0?x?x?axx， ? ?，即? ?byy，b?y?
9、y? 又点P(x，y)在曲线C上， x2 4 y1.那么2 a2x2 4 by1为曲线C的方程 4 22 ?a4，22 又已知曲线C的方程为xy1，故?2 ?b1.?a2， 又a0，b0，? ?b1.? 2 ?2 4(2022南通调研)已知矩阵M? ?2 得到点P(4,0)，求： (1)实数a的值； a? 1? ?，其中aR，若点P(1，2)在矩阵M的变换下 (2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量 解 (1)由? ?2 a? 1?4? ? ?， ?2 1?2? 0? 3?1? 所以22a4.所以a3. ?2 (2)由(1)知M? ?2 f()? ?，那么矩阵M的特征多项式为 ?2 3?2 ?(2)(1)634. ?2 1? 令f()0，得矩阵M的特征值为1与4. ? 当1时，? ?2x? x3y0， y0 ?xy0. ? 1? 所以矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为?. ?1? ? 当4时，? ?2x x3y0， y0 ?2x3y0. ?3? 所以矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为?. ?2? ?1? 5已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1?，并且矩阵M对应的变换 ?1? 将点(1,2)变换成(2,4) (1)求矩阵M； (2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标
