《（教案）算术平均数与几何平均数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（教案）算术平均数与几何平均数（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本文格式为Word版，下载可任意编辑（教案）算术平均数与几何平均数 课题算术平均数与几何平均数（第一课时） 授课教师： 河北省玉田县林南仓中学 数学组 金志刚 一、教学目标 (一)学识目标 1.重要不等式：若a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”号). 2.算术平均数，几何平均数及它们的关系. (二)才能目标 1.通过自学学会并掌管两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理及其推导. 2.理解这个定理的几何意义，并掌管定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等. (三)情感渗透目标 通过掌管公式的布局特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的才能
2、，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践才能. 二、教学重点 1.重要不等式：假设a、bR，那么ab2ab(当且仅当ab时取“”号). 2.假设a、b是正数，那么 a?b2a?b22 2 为a、b的算术平均数，ab是a、b的几何平 均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：假设 a、b是正数，那么ab (当且仅当ab时取“”号). a?b2a?b23.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”时取“”号的含义是：当ab时取等号，即ab?ab；仅当ab时取等号，即ab的充要条件. ab?ab.综合起来，就是ab是 a?b2三、教学难点 1.a2b22ab和 a?
3、b2ab成立的条件不一致，前者只要求a、b都是实 数，而后者要求a、b都是正数. 2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题. ab a?b222，ab（ a?b2）2 四、教学方法 学教式教学法与启发式教学法相结合。 五、教具打定 教学用投影片14张，学生上课用的学案。 六教学过程 1.课题导入和复习回想：（7分钟） 不等式在生产实践和相关的学科中应用分外广泛，又是学习高等数学的重要 工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回想“差值”对比法，不等式的根本性质，以便在今后学习中得到稳定和生动运用. (一)打出投影片1，请同学们回复： 师“差值”对比法的理论依据？解决问题的一般步骤是
4、什么?主要解决哪些问题? 通过师生积极对话，简要作一下概括，打出投影片2，使学生明确：“差值”对比法的三个重要方面.即依据是：ab?ab0；ab?ab0；ab?ab0；一般步骤是：作差变形判断差值符号得出结论；主要用途：两个实数大小的对比；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式. (二)不等式性质的稳定及应用(投影片3) 课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的根本性质，共同归纳，打出投影片4，使学生掌管以下不等式的根本性质：(1)反对称性ab?ba；(2)传递性ab，bc?ac；（3）可加性ab?acbc；(4)可积性ab，c0?acbc；ab，c0?acbc；(5)加法法那么ab，
5、cd?acbd；(6)乘法法那么ab0，cd0?acbd；（）乘方法那么ab0?anb（nN）；(8)开方法那么ab0?nna?nb（nN). （三）为进一步更好地稳定不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习： * 已知a、b为正实数，m、nN且mn，求证： ambmamnbnanbmn. 师此题测验同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多查看，多斟酌，考虑问题确定要全面细致.请同学们自己完本金题证明过程. 生（ammb）（amnnmmnnbanbmn） （aaamnb）（bmanbmn） nmn（ab）bbmnnn（ba） nnn（amn）（ab） mn1，a0，b0
6、当ab0时，那么a（amnmnbmn，ab nnbmn）（ab）0 mnnn当ab0时，那么（a当ba0时，那么b（amnbmn）（ab）0 nnnnmnamn，ba bmn）（ab）0 nn综上所述，当a、b为正实数，m、nN且mn时，(a-b)(a-b)0 即abammmnnm-nm-nnn* banbmn. 下面，我们利用不等式的性质，研究推导本课重要的不等式. 2.学生安自学指导的提示自学本课内容。（5分钟） 3效果检测： （一）学生自由发言，依据自学指导依次汇报自学成果，教师点拨。 A.教师理应点出的内容： 在公式 学生留神以下两点： 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让
7、（1） 是实数，而后者要求 和 都是正数。 成立的条件是不同的：前者只要求 都 （2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当时取?=?号”这句话的含义要搞领会。教学时，要指点学生从以下两个方面来理解这句话的含义： 当 时取等号，其含义就是： 仅当 时取等号，其含义就是： 综合起来，其含义就是： 是 的充要条件。 B.对于均值不等式还可以有如下证明： a，b为正数 a0，b0 22 a（a），b（b） a?b2?ab?a?b?2ab2?(a?2b)2b)2 a?b2a?b2当ab即ab时， (a?2(a?20，有 2?ab. 当ab即ab时， b)0，有 ?ab?ab 综上所述，
8、当a、b为正数时，有号). C.1.假设把 a?b2a?b2 (当且仅当ab时取“” 看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等 a?b2比中项，那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平 a?b2均数.本节定理还可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.定理：“假设a、b是正数，那么 ?ab（当 且仅当ab时取“”号）”的一种几何解释(如下图) 以ab长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使ACa，Bb.过点C作垂直于直径AB的弦DD，连接AD、DB，易证tADtDB，那么D
9、2AB 即Dab. 这个圆的半径为 a?b2，鲜明，它大于或等于CD，即 a?b2?ab，其中当且 仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立. （二）学生做效果检测判断题，进一步明确重要不等式的应用条件：“正、定、等。”能够辨析简朴的变式。 对第四个问题可做如下解释： （拆分法）f(x)?x?4x1x3x(0?x?1)?(x?)?2x?1x?31?5，当且仅当x?1时“=” 号成立，故此函数最小值是5。当然此题还可用单调性法，提一提即可，不要用太多时间，可作为研究性问题让学生课下研究。 4简朴应用 应用2找1个学生板演，其余出示幻灯片。 1.已知a、b、c都是正数，求证 （ab）（bc）（ca）
10、abc 分析：对于此类题目，选择定理：可求得结果. 答案：a，b，c都是正数 ab2ab0 a?b2?ab（a0，b0）生动变形， bc2ca2 bcac0 0 （ab）（bc）（ca）2ab2bc2acabc 即（ab）（bc）（ca）abc. 2.已知x、y都是正数，求证： (1) yx?xy2； 2 2 3 3 3 3 (2)（xy）（xy）（xy）xy. 分析：在运用定理： a?b2?ab时，留神条件a、b均为正数，结合不等式 的性质(把握好每条性质成立的条件)，举行变形. 答案：x，y都是正数 xy0， yx0，x20，y20，x30，y30 (1) xy?yx?2xy?yx2即 xy?yx2. (2)xy2xy0 x2y22x3y32 xyxy3220 0 3（xy）（x2y2）（x3y3） 2xy2x2y22x3y3x3y3 即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3. 3.求证：（ a?b2） 2 a?b222. 9
