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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等代数15数环与数域教案OK 1.5 数环和数域 研究数学问题往往需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。 譬如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再譬如议论多项式的因式分解、方程的根的处境，都跟数的范围有关。 例如 x2?2在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。 x2?1?0在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。等等。 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来议论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中（即运算是否
2、封闭）。 代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法那么，它使A中任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。 运算封闭：假设集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，那么称该集合对这个运算封闭。 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不确定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。 根据数对运算的封闭处境，我们把数集分为两类：数环和数域。 一、数环 定义1：设S是由一些复数组成的一个非空集合，假设对?a,b?S总有 a
3、?b,a?b,a?b?S那么称S是一个数环。例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R， 复数集C都是数环。 问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令S?nan?Z?那么S是一个数环。 更加，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。 当a=0时，S?0?即只包含一个零组成的数 环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否确定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的数环？ 例2：证明Z?i?a?bia,b?Z,i2?1是一个数环。 问题： 5、除了定义之外，判断一个集合是数环有没有其他简朴的方法？ 定理1.1.1：设S
4、是一个非空数集，S是数环的充要条件是S中任两个数的差和 ?积仍在S中。 二、数域 定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，假设F中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，那么称F是一个数域。 定义：设F是一个数环，假设 F内含有一个非零数； 对?a,b?F,且b?0那么ab?F那么称F是一个数域。 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，且是三个最重要的数域。 问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数集是不是数域？ 7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？ ?2?a?b2a,b?Q?是一个数域。 证明要点：先证Q?2?有一个非零元1?1?02对加、减、乘封闭。再证除法封
5、例3：证明Q闭： c?d2?0?c?d2?0（否那么当d?0?c?0冲突；当d?0?2?c?Q，也冲突）。于是 da?b2c?d2a?b2?a1?b12,a1,b1?Q c?d2c?d2c?d2?问题：8、一个数域必包含哪两个元素？9、最小的数域是什么？ 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证 明 ： 设 F 是 一 个 数 域 ， 那么 ?a?,Fa0?于 是 a?a0?,Fa1?a?.F1?1?2?,?1?2?3N,?F1a,a,b?Z, b0?1?1?,?0?2?2?Z,?0F对?x?Q,x?0,x?故 x?F,Q?F. 问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上要检验几种运算？ 定理1.1.3：设F是一个含有非零数的数集，那么F一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除数不为零）仍属于F。 问题：11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C之间是否有别的数域？ 例：对任意素数P， Q?P?a?bpa,b?Q是一个数域。Q?Q?P?R 在R与C之间不成能有别的数域。设有数域F，使R?F?C故 ?x?F,x?R,x?C,设x=a+bi，且b?0（若b=0，那么x?a?R，冲突）。 ?a,b?R,a,b?F,bi?F,bib?i?F可见F=C。 5
