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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高代第三章 定理1 数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为 dimW?n?ranA；k （2） 其中A是方程组的系数矩阵。从而当齐次线性方程组（1） 有非零解时，它的每个根基解系所含向量的个数都等于 n?rank(A)。 证明 定理1的证明过程其实就是求根基解系的过程。 设rank(A)?r。把系数矩阵A经过初等行变换化成简化行 阶梯形矩阵J。由于rank(A)?r，因此J有r个非零行，从而 有r个主元。不妨设它们分别在第1，2，?，r列。即 ?1?0?J?0?0?0?01?00?000?00?0?00?00?000?10?0b1r,?b2r,?br
2、,r?10?0?11? bn?1?bn2?brn?。 0?0?于是齐次线性方程组（1）的一般解为 x?bn1x?x1?b1r?,?1r1n?x?bn2x?x2?b2r?,?1r1n? ?x?bx?brnx,r?r1?r1?r 其中x （3） nr?1,xr?2,?,xn是自由未知量。 r?1 让自由未知量x?xr?1?1?0?xr?2?xn?0?,xr?2,?,xn分别取下述n?r?0?0?1?组数： ， ?0?1? ?0?，?， （4） 那么得到方程组（1）的n?r个解为 ?b1r,?1?b2r,?1?br,r?1?1?1?0?0?b1,r?2?b?2,r?2?br,r?2?2?0?1?0?
3、b1n?b?2n?brn?0?0?1? ， ，?， ?n?r。 （5） 由于（4）中的n?r个向量线性无关，所以它们的延迟组 即? 其次，任取齐次线性方程组（1）的一个解?： ?c1?c2?cn?1,?2,?,?n?r也线性无关。从而?1,?2,?,?n?r得志根基解系中 的条件1。 ， 那么?得志方程组（1）的一般解的公式（3），即 cr?1?bn1cn?c1?b1r,?1?cr?1?bn2cn?c2?b2r,?1?。 ?c?bc?brncnr,?r1?r1?r 从而解向量?可以写成下述形式： c1?c1?b1r?,r?cr?br,r?c1r?1cr?1?cr?1?c?0cr?1?n?bnc
4、n?11?brncn?1?0cn? ?1cn? ?cr?1?b1r,?br,r?1?1?0?1?bn?brn?cn?0?1?1? ?cr?1?1?cn?n?r. 因此方程组（1）的每一个解?都可以由?1,?2,?,?n?r线性 表出，即?1,?2,?,?n?r得志根基解系中的条件2。从而由基 础解系的定义知? 总结 求根基解系的方法： 第一步：把齐次线性方程组（1）的系数矩阵A经过初等 变换化成简化阶梯型矩阵J； 其次步：从J直接写出方程组（1）的一般解公式； 第三步：在一般解公式中，每一步让一个自由未知量取 值1，其余自由未知量取值0，求出方程组（1） 的一个解向量。这样得到的n?r个解向量
5、就构成 方程组（1）的一个根基解系，其中r?n?rank(A)。 留神：也可以让自由未知量x?xr?1?d1?xr?2?0?0?0?xn?0?r?11,?2,?,?n?r是方程组（1）的一个根基解系。 ,xr?2,?,xn分别取下述n?r?0?0?0?0?d?n?r?组数： ， ?0?d?2?0?0?0?， , ， 其中dd12?dn?r?0，证明过程依旧成立，也能得到相应的基 础解系。 例1 求下述齐次线性方程组的一个根基解系，并且写出它 的解集 ?x1?3x2?5x3?2x4?0?2x1?x2?3x3?x4?0 ?x?7x?9x?4x?0234?1 解 ?1?2?1?5?2?1?31?79
6、?4?1?0?0?3?1?0?0?3?5?1045?755?2?7?3? 1?4?61?5?3?5?0?010 ?1?0?0?3?50570?2?3?0?。 0 于是一般解为 41?x1?x3?x4?55?x3, x4为自由变元。 ，73?x?x3?x42?55?3 分别取x?5,x4?0；x3?0,x4?5得根基解系为 ?4?1?7?3?1?2?。 ， ?5?0?05? 解集为W?k1?1?k2?2|k1,k2?K. 总结 求根基解系的方法： 第一步：把齐次线性方程组（1）的系数矩阵A经过初等 变换化成简化阶梯型矩阵J； 其次步：从J直接写出方程组（1）的一般解公式； 第三步：在一般解公式中
7、，每一步让一个自由未知量取 值1，其余自由未知量取值0，求出方程组（1） 的一个解向量。这样得到的n?r个解向量就构成 方程组（1）的一个根基解系，其中r?n?rank(A)。 3.8 非齐次线性方程组的解的布局 数域K上的n元非齐次线性方程组 x1?1?x2?2?xn?n? (?0)， （1） 12的一个解是Kn中的一个n维列向量?x,x,?,xn?，称它为方 程组（1）的一个解向量。全体解向量的集合U是Kn的一 个子集（可能是空集，假设方程组（1）无解的话），由于 ?0，所以U不是Kn的子空间，不成能象齐次线性方程 组那样去求解。当方程组（1）有无穷多个解，这无穷多 个解怎么表示出来？也就
8、是解集U的布局如何？ 以R为例分析：此时一个3元非齐次线性方程 3ax?by?cz?d的解集是不经过原点的一个平面?，而相应 与z轴的交点所对应的向量为?0， 的齐次线性方程ax?by?cz?0的解集是过原点的一个平面 ?0，鲜明?0。假设记?那么?可以由?0沿着向量?0平移得到，其中?0?。于是? 第3章 线性方程组的进一步理论 回想：第一章解线性方程组，务必将增广矩阵彻底化成 阶梯形矩阵，只能做行变换；看是否展现“0等于非0”， 非0行数r与变元个数n对比，有点繁杂。 其次章解线性方程组，只针对方程个数与未知量的个数相 等的情形，且当系数行列式等于0时，无法区分何时无解， 何时有无穷多个解
9、。 本章给出对任何线性方程组都适用，直接从方程组的系数 和常数项判断方程组有没有解，有多少解的方法。 为此，先分析第一章中线性方程组的解法 例. 求下述线性方程组的解： ? x1? x2?2,? x1?2x2?5, ?3x?4x?9.2?1 （1） 解. 从增广矩阵启程，做初等行变换 ?1?1?3?1?2?4?2?1?50?0?9?1?1?1?2?1?30?0?3?1?10?2?3?0?。 由此可以看出，方程组有解，并且有唯一解。 唯一解为x1 ?1, x2?3。 留神：上面化阶梯型矩阵的过程中，需要把一行的倍数 加到另一行上去。例如，把第1行的?3倍加到第3行上 去。第1行的?3倍可以写成：
10、 ?1?, ?3?(1,2?)?(，3 （2） 再把它加到第3行上去，可以写成： (?3,3,?6)?(3?,这两种运算。 另外，还可以从列的角度来看方程组（1）： ? x1? x2?2,? x1?2x2?5, ?3x?4x?9.2?14?,9?)。 ? （3） 这里展现了行向量乘以一个倍数，两个行向量相加 它可以写成如下形式： ?1?1?x1? x2?x11?x2?2?x1?2x2?3?4?3x?4x2?1?2?5?9? 。 方程组（1）是否有解可以解释为：3维空间中的列向量 ?2?5?9?1?1?能否表示成为另外两个列向量?3?1? ?2与?各自乘以 ?4?常数倍再相加；假设能的话，这两个
11、常数就是要求的解。 x1?1, x2?3是方程组（1）的解相当于： ?1?1?1?1?1?3?2?1?3?4?3?3?2?6?5?12?9?， 这里展现了列向量乘以一个倍数，两个列向量相加 这两种运算。 因此有必要研究向量（行向量、列向量）的加法和向量乘 以常数倍这两种运算，这就是本章要讲的内容。 1 n维向量空间Kn 取定一个数域K，n是给定的正整数。令 K?(a1,a2,?,an)?ai?K,i?1,2,?,n?， ndef即Kn表示全体n维行向量组成的集合。 注：K有时也表示全体n维列向量组组成的集合，即 ?a1?a2?an?a?K,i?1,2,?,ni?n Kn。 至于Kn到底表示行向量的集合还是列向量的集合，那么由 上下文或概括交代而定。 在K中规定两种运算 n （1）加法运算 ?(a1,a2,?,an)?(b1,b2,?,bn)?(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)；（1） （2）数量乘法运算 k?k(a1,a2,?,an)?(ka1,ka2,?,ka
