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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学厦门大学出版社徐荣聪高数课后习题详细参考答案 第三章参考答案 习题3-1（P66） 1、（1）不得志，在x?1处不连续；（2）不得志，在x?2处不成导； 2、（1）、?e?1；（2）?4?； 3、证明：设任意区间a,b?(?,?)，鲜明函数在a,b上连续，在(a,b)内可导， 所以函数得志拉格朗日中值定理的条件， (pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)?p(a?b)?q 所以有f?(?)?b?a又f?(?)?(px?qx?r)?2x?2p?q a?b 2所以p(a?b)?q?2p?q，从而?所以命题成立。 4、方程有2个根，分别位于区间(1,2)
2、和(2,3)内； 5、(2,4)； 6、证明：设f(x)?arctanx，鲜明函数f(x)在(?,?)内四处连续，四处可导， 设区间b,a?(?,?)，那么f(x)在b,a上得志拉格朗日子中值定理的条件 所以(b,a)内至少存在一点?，使arctana?arctanb?1(a?b)， 21? 所以arctana?arctanb?1?a?b?a?b， 21?即arctana?arctanb?a?b 习题3-2（P70） 1、（1）1；（2）2；（3）cosa；（4）?31；（5）?； 58121（6）0；（7）?；（8）；（9）0；（10）； 22?2、（1）1，不能；（2）1，不能； 习题3-
3、3（P77） 1、（1）(?,1)增加，(1,?)裁减；（2）(?,?)裁减； （3）(?,?1)和(1,?)增加，(?1,1)裁减；（4）(0,2)裁减，(2,?)增加； 2、（1）(?,3)裁减，(3,?)增加； （2）(0,e?1)裁减，(e?1,?)增加； （3）(?,0)增加，(0,?)裁减； （4）(?,1)和(3535,?)增加，(1,)裁减； 27273、证明：设f(x)?ex?x?1，那么f?(x)?ex?1，当x?0时，f?(x)?0 所以函数f(x)在(0,?)上单调增加， xx 所以当x?0时，f(x)?f(0)?0，即e?x?1?0，从而e?1?x 4、证明：设f(x
4、)?x3?3x2?1， 鲜明函数f(x)在0,1上连续，且f(0)?1?0,f(1)?1?0 由零点存在定理知，函数f(x)在(0,1)至少有一个零点， 又当x?(0,1)时，f?(x)?3x2?6x?3x(x?2)?0，函数单调裁减 所以函数f(x)在(0,1)至多只有一个零点，即方程x?3x?1?0在(0,1)至多 只有一个实根， 由于f(0)?0,f(1)?0，所以x?0,x?1不是方程的根， 所以方程x?3x?1?0在0,1至多只有一个实根。 5、（1）微小值f(?1)?5，无极大值； （2）微小值f(2)?3，极大值f(?1)?32323； 2（3）微小值f(3)?47，极大值f(?
5、1)?17； （4）微小值f()?345，无极大值； 44； 2e（5）微小值f(0)?0，极大值f(2)?（6）无极值； （7）微小值f(0)?0，极大值f(?1)?1； （8）提示：y?x?1?1，微小值f(0)?2，极大值f(2)?2； x?16、解：鲜明函数f(x)在(?,?)上可导， 要使函数f(x)在x?即acos?3处取得极值，须有f?()?0， ?3?3?cos?0，解得a?2 由于f?()?(?2sinx?3sin3x)x?3?0 ?33所以函数f(x)在x?3处取得极大值，此时f()?2sin?31?sin?3 33所以当a?2时，函数f(x)在x?3处取极大值3。 7、（
6、1）最大值f(4)?80，最小值f(?1)?5； （2）最大值f(3)?11，最小值f(?2)?f(2)?14； （3）最大值f(1)?1，最小值f(0)?f(2)?0； （4）最大值f(0)?0，最小值f()?ln2； （5）最大值f(1)?1411，最小值f(?1)?； 224（6）最大值f(?4)?16e，最小值f(0)?0； 8、解：设车间靠墙壁的长为x米，那么不靠墙壁的长为(10?面积S(x)?x(10?)，0?x?20 x)米， 2x2 S?(x)?10?x，令S?(x)?0，得唯一驻点x?10，由于S?(x)?1?0 所以S(x)在x?10处取极大值，又驻点唯一， 所以S(x)在
7、x?10处取最大值， 所以当小屋靠墙壁的长为10米，不靠墙壁的长为5米时，面积最大。 9、解：设经过x小时两船相距为y海里，那么 22?(75?12x)?(6x),0?x?6.25 y? 22?12(x?6.25)?(6x),x?6.25 当0?x?6.25时，y?360x?1800180x?1800x?56252?360x?1800180(x?5)?11252， 令y?0，得驻点x?5，没有不成导点， 依题意知目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当x?5时，函数y取最小值155 当x?6.25时，y?(6?6.25)2?37.5?155 综上可知，经过5小时，两船距离最近。 10、解：设BM
8、?x(m)，那么AM?600?x,CM?x2?2022， 所以掘进费y?5(600?x)?13x2?2022(0?x?600) y?13xx2?2022?5,令y?0，得唯一驻点x?250，没有不成导点 3250.2；x?600时，y?8221.9 时，y?47173250?516.7， .2最小，此时AM?600? 对比得y?47173 当x?0时，y?5600；当x?所以从A处沿水平掘进516.7米后，再斜向下沿直线掘进到C处，掘进费最省，为4717.2元。 11、解：矩形底宽为x米，高为h米，那么周长y?2h?x(?2) 2 由xh?x28?5得h?5?x10x(?4)?，所以y?(x?
9、0) x8x4 y?44?1040?y?0，令，得驻点 x?x2?4 依题意目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当x?最小。 40米时，截面的周长?412?r?h 3R?R224?2?2 由2?r?R?，得r?，h?R?r?2?2?12、解：设漏斗的地面半径为r，高为h，那么V?12R3?24?2?2(0?2?) 所以V?r?h?2324?R3?(8?2?3?2)8?V?0? V?，令，解得? 2224?234? 依题意，目标函数存在最大值，且驻点唯一，所以当?8 ?时，函数取最大值， 3 即当?8?时，做成的漏斗容积最大。 3213、解：设内接直圆柱的底半径为r，高为2h，那么圆柱的体积V?
10、2?rh 由于球内接圆柱，所以有r?h?R，得h? 所以V?2?rR?r(0?r?R)， V?426222R2?r2 ， 2?r(2R2?3r2)R?r22令V?0，得r?2R，此时2h?34R 32函数取最大值， R时， 3依题意，函数 存在最大值，且驻点=唯一，所以当r?所以内接直圆柱的半径为 24R、高为R时，体积最大。 3314、解：如图h?DA?DC?2?15sin?3tan? 由于DA?15sin?1.5,DC?3tan?， 所以h?15sin?3tan?0.5(0?2?2) 115cos3?33?h?0 h?15cos?3sec?，令，解得 cos?25cos? 此时sin?1?cos2?1?31?0.81， 253tan?sec2?1?1?1?2cos?25?1?1.39 1时，函数取最大值 5 依题意知，函数存在最大值，且驻点唯一，所以当cos?3 h?15sin?3tan?0.5?15?0.81?3?1.39?0.5?7.48?6 所该吊车能把屋架吊上去。 15、解：利润L(x)?R(x)?C(x)?0.01x?150x?500 L?(x)?0.02x?150，令L?(x)?0，得唯一驻点x?7500 2 6
