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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑矩阵三角分解 第2章 线性代数方程组数值解法I：直接法 1. 矩阵 事实上，依次Gauss消去过程对应一个矩阵的三角分解，即对Ax?b的依次Gauss消去过程的结果，把矩阵A分解成两个三角矩阵L与U的乘积：A?LU 下面来表明这一点.依次取第 k步消元的乘法 (k)(k) lik?aik (i?k?1,k?2,?,n) /akk(k?1)(k)(k) 那么直接验证可知,第k步消元(aij)的结果等价于对Ak左乘Lk: ?aij?likakjA(k?1)?LkA(k) 于是 ,经过n?1步消元,应有 ?u11 u12 u13?u22 u23? Ln?1?L2L
2、1A?U U? ? ? (2.3.1) ? u33? ?这里U为上三角矩阵，另外，又轻易直接验证Lk有以下两个根本性质： (1) Lk的逆阵存在，且有 ?1?1?11l L? ?k?1,kk? (2.3.2) ?1?lnk?1 (2) 逆阵L?k的乘积 ?1?1?l?21?1?1?1 L1L2?Ln?1=? ?=L（单位下三角矩阵）（2.3.3） ?1l?n1?ln1?11?1从而对(2.3.1)式两端依次左乘L?n?1,L2,Lk可得 ?1?11U=LU A?L1L2?L?n?1L就是(2.3.3)式所示的单位下三角矩阵。这就是矩阵的三角分解或称LU分解。 A?LU 称为A的doolittl
3、e分解 A?LU?LDU=LU 称为A的克劳特分解 ? A?LDU 称为 A的LDU分解 对于于有选主元和换行步骤的Gauss消去过程，也可证明它对应于“A左乘排列矩阵P的LU分解”，即有PA=LU。 例 2.3.1 用直接三角分解法解方程组（2.1节中的实例） ? 2 ?3 ?2?x1? 0?1 ? ?x? ? ?1? 2 ?2?2?4? 3 ?1 ? 7?x3?解 把解法分为3个步骤： 令A=LU，用Doolittle分解，即令 ?u11 u12 u13? 2 ?3 ?2?1? ? ?1 2 ?2? ? ?l lu u212223? ?4?1? u33? 3 ?1 ?l31 l32 ? ?
4、考虑A的第1行，比较右边两矩阵的乘积，有 ? 2?1?u11 ? u11?2?3?1?u12 ? u12?3 ?2?1?u ? u?21313?此结果即U的第1行与A的第1行全同，这对一般情形也是适用的，因此，在分解计算中，此结果也可直接写出。接着，再依次考虑A的第1列、第2行、第3列?(除去已考虑过的元素)，作同样对比有 l21?1/2?1?l21?u11 ? ? 3?l?u ? l?3/2311131? ? 2?l21?u12 ?1?u22 ? u22?1/2 ? ?2?l21?u13 ?1?u23 ? l23?3?1?l31?u12?l32?u22 ? l32?7 4?l31?u13?l
5、32?u23?1?u33 ? u33?28 1 ?2 ?3 ?2? ? ? ? ?1/2 11/2 ?3 即得 A?1? 28? 3/2 7 ? ?用前推过程解下三角方程组 1 ?y1?0?y1?0? ?1/2 ? ?y? ? ?1? 得 ?y? ? ?1? 1?2?2?1? 3/2 7 ? 7?14?y3?y3?用回代过程解上三角方程组 ?x1?2 ?3 ?2 ?x1?0? 2? ? ?x? ? ?1? 得 ?x? ? ? 1? 1/2 ?3?2?2? 28 ? ? 14?1/2?x3?x3?下面以不包括选主元和换行的Doolittle分解为例，给出解n阶方程组Ax?b的一般计算公式及整个求
6、解过程（分3个步骤） 令A?LU，即令 ? a1n? 1? u1n?a11 a12 ?u11 u12 ?a a ?l ? 1? au ? u2121222n222n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?l l ? 1a a ? a u?n1n1?n2nn?nn?n1利用矩阵乘法规矩,并比较等式两边对应元素,由A的第1行得 a1j?1?u1j (j?1，2， ?，n)? a1j?u1j (j?1，2， ?，n) (2.3.5) 由A的第1列（除第1行元素外）得 ak1?lk1?u11 (k?2，3， ?，n)? lk1?ak1/u11 (k?2，3， ?，n) (2.3.6) 依此类
7、推，由A的第k列（1?k?n）（除前k?1列元素外）得 akj?lkrurj?ukjr?1k?1? ukj?akj?lkrurj (j?k，?1，?，n)r?1k?1 (2.3.7) 由A的第k列（1?k?n）（除前k列元素外）得 aik?lirurk?likukkr?1k?1? lik?(aik?lirurk)/ukk (i?k?1，?，n)r?1k?1 (2.3.8) 求解下三角方程组Ly?b得 ?y1?b1?i?1 ?3，?，n)?yi?bi?liryr (i?2，r?1?求解上三角方程组Ux?y得 ?xn?yn/unn?n ?，2，1)?xi?(yi?uirxr)/uii (i?n?1
8、，r?i?1? 这就是用直接三角分解法求解方程组的公式，其中第步中的前两个公式也可合并入后两个公式；第，步中的前一公式也可并入后一公式，这时当公式中展现?和 r?10r?n?1?n时均不执行计算，作零处理 （在列主元Gauss消去法一节中已提过这个附注）。 n3可以推出，Doolittle算法的乘除法次数大致为，与Gauss消 3去法大致一致，故就计算量而言，采用Doolittle算法解方程组并无更加优势（由于我们已拥有相当高效的列主元Gauss消去法）。应用中，主要借助直接三角分解法的处理方法来处理具有特殊处境的方程组。这就是下一节要介绍的解三角方程组的追逐法和解对称正定方程 组的平方根法。 5
