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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学基础知识点大全（94页完美打印版） 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素务必是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不一致的）。譬如“身材较高的人”不能构成集合，由于它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。假设a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：aA，否那么就说a不属于A，记作：a?A。 、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N 、全体正整数组成的集合叫做正整数集。
2、记作N+或N+。 、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“”括起来表示集合 、描述法：用集合全体元素的共同特征来表示集合。 集合间的根本关系 、子集：一般地，对于两个集合A、B，假设集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A ?B（或B ?A）。 相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作AB。 、真子集：如何
3、集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ?，并规定，空集是任何集合的子集。 、由上述集合之间的根本关系，可以得到下面的结论： 、任何一个集合是它本身的子集。即A ?A 第 1 页 共 93 页 、对于集合A、B、C，假设A是B的子集，B是C的子集，那么A是C的子集。 、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的根本运算 、并集：一般地，由全体属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作AB。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能展现一次。） 即A
4、Bx|xA，或xB。 、交集：一般地，由全体属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作AB。 即ABx|xA，且xB。 、补集： 全集：一般地，假设一个集合含有我们所研究问题中所涉及的全体元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的全体元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。 即CUAx|xU，且x ?A。 集合中元素的个数 、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 、用card来表示有限集中元素的个数。例如Aa,b,c，那么card(A)=3。 、一般地
5、，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB) 我的问题： 1、学校里开运动会，设Ax|x是加入一百米跑的同学，Bx|x是加入二百米跑的同学，Cx|x是加入四百米跑的同学。学校规定，每个加入上述比赛的同学最多只能加入两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。、AB；、AB。 第 2 页 共 93 页 2、在平面直角坐标系中，集合C(x,y)|y=x表示直线yx，从这个角度看，集合D=(x,y)|方程组：2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。 3、已知集合A=x|1
6、x3，Bx|(x-1)(x-a)=0。试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使AB成立？ 4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？ 5、无限集合A1，2，3，4，n，B2，4，6，8，2n，你能设计一种对比这两个集合中元素个数多少的方法吗？ 2、常量与变量 、变量的定义：我们在查看某一现象的过程时，往往会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们那么把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们那么把它看作常量
7、。 、变量的表示：假设变量的变化是连续的，那么常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名称 区间的得志的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示 闭区间 axb a，b 开区间 axb （a，b） 半开区间 axb或axb （a，b或a，b） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： a，+)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：ax+； (-，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-xb； (-，+)：表示全体实数，也可记为：-x+ 注：其中-和+，分别读作负无穷大和正无穷大它们不是数,仅仅是记号。 、邻域：设与是两个实数，且0.得
8、志不等式x-的实数x的全体称为点的邻域，点称为此邻域的中心， 第 3 页 共 93 页 称为此邻域的半径。 2、函数 、函数的定义：假设当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照确定的法那么f总有确定的数值与它对应，那么称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了说明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母、表示y与x之间的对应法那么即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。假设自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函
9、数叫做单值函数，否那么叫做多值函数。这里我们只议论单值函数。 、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系抉择的，所以，假设两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲
10、线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简朴性态 、函数的有界性：假设对属于某一区间I的全体x值总有f(x)M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否那么便称无界。 第 4 页 共 93 页 注：一个函数，假设在其整个定义域内有界，那么称为有界函数 例题：函数cosx在(-,+)内是有界的. 、函数的单调性：假设函数有 ，那么称函数 在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1x2时，在区间(a,b)内是单调增加的。假设函数
11、，那么称函数 在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：在区间(a,b)内是单调减小的。 对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1x2时，有 例题：函数 =x2在区间(-,0)上是单调减小的，在区间(0,+)上是单调增加的。 、函数的奇偶性 假设函数的任意x都得志 对于定义域内的任意x都得志 =-，那么 叫做奇函数。 =，那么叫做偶函数；假设函数对于定义域内 注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。 、函数的周期性 对于函数做周期函数，l是 ，若存在一个不为零的数l，使得关系式的周期。 对于定义域内任何x值都成立，那么叫 注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 例题：函数4、反函数 是以2为周期的周期函数；函数tgx是以为周期的周期函数。 、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一 值x0与之对应，即数. ，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函 注：由此定义可知，函数、反函数的存在定理：若(减). 注：严格增(减)即是单调增(减) 也是函数的反函数。 在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，那么它的反函数必然在R上确定，且严格增 第 5 页 共 93 页 9
