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1、2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算11.掌握两个向量共线的条件,理解单位向量的含义,并能利用平行向量基本定理解决有关共线或平行问题.2.理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式,并能解决轴上的相关问题.2121.平行向量基本定理若a=b,则ab;反之,若ab,且b0,则一定存在唯一一个实数,使a=b.归纳总结归纳总结 1.给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量,叫做向量a的单位向量,记作a0,a0=2.对定理的应用,要从两个方面进行:由ab(b0),可得a=b;由a=b,可得ab.要注意两向量平行与几何中直线的平行是有区别的,两向量平行包括两向量所在基线重合的情况.利用该定理
2、可以解决平面几何中两线段的平行、三角形相似、三点共线等问题.312【做一做1】下列说法正确的是()A.若a=3b,则a与b不一定共线B.若a与b共线,则必有a=b(R)C.若a+b=0,则a与b共线D.若a,b均为非零向量且共线,则满足b=a的实数不唯一解析:若a=3b,则a与b一定共线,A错;当a0且b=0时,a与b共线,但不存在R,使a=b,B错;由a+b=0得a=-b,a与b必共线,C正确;当a,b为非零向量且共线时,满足b=a的唯一,D错.答案:C4122.轴上向量的坐标及坐标运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.取单位向量e,使e的方向与轴l同方向,对轴上任意向量a,一定存在唯
3、一实数x,使a=xe.反过来,任意给定一个实数x,总能作一个向量a=xe,使它的长度等于这个实数x的绝对值,方向与实数的符号一致.单位向量e叫做轴l的基向量,x叫做a在l上的坐标(或数量).(2)x的绝对值等于a的长,当a与e同方向时,x是正数,当a与e反方向时,x是负数.实数与轴上的向量建立起一一对应关系.(3)向量相等与两个向量的和:设a=x1e,b=x2e,若a=b,则x1=x2;反之,若x1=x2,则a=b.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.512(4)轴上向量的坐标:在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=x2-x
4、1,即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.(5)数轴上两点的距离公式:在数轴x上,点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则|AB|=|x2-x1|.【做一做2-1】若数轴上,A,B两点的坐标分别是3,5,则A,B两点的距离为()A.8B.2C.3D.-2答案:B612【做一做2-2】已知数轴上点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列结论错误的是()答案:C7关于平行向量基本定理的深入分析剖析(1)对于向量a(a0),b,如果存在一个实数,使b=a,那么由向量共线的定义知向量a与b共线;已知向量a与b共线,a0,且向量b的长度是向量a的长度的倍,即|b|=|a|,则当a与b同方向时
5、,有b=a,当a与b反方向时,有b=-a.(2)判断向量a(a0)与b是否共线的方法:判断是否有且只有一个实数,使得b=a.(3)证明A,B,C三点共线的方法:证明有且只有一个实数,使得8(4)如果非零向量a与b不共线,且a=b,那么必有=0.(5)向量(1a+2b)=1a+2b可以用平行四边形法则作出,如图.9题型一题型二【例1】已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.(1)若AC=5,求c的值;(2)若|BD|=6,求d的值;分析解答本题,首先根据条件表示出两点所对应的向量的坐标,然后求解或证明.10题型一题型二反思反思正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其
6、他向量计算的基础,特别要注意向量坐标运算公式的顺序,还要注意向量的模的运算中可能会出现两种情形.11题型一题型二12题型一题型二分析(1)若证A,B,D三点共线,只需证明存在实数,使得 即可.(2)若ka+b与a+kb共线,则一定存在实数,使ka+b=(a+kb),求出k值即可.13题型一题型二(2)解:因为ka+b与a+kb共线,所以存在实数,使得ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.因为a,b是不共线的非零向量,所以k-=0,k-1=0.所以k=1.反思反思对于(1),证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两个向量共线且有公共点时,才
7、能得出三点共线.对于(2),利用共线向量得到关于k的方程,用待定系数法解决问题.14题型一题型二151234561.在数轴上有M,N,P三点,其中点M,P的坐标分别是2和-3,且满足MN=3NP,则点N的坐标是()解析:设点N坐标为x,依题意MN=x-2,NP=-3-x,则x-2=3(-3-x),解得答案:B161234562.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,动点P满足A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点答案:B171234563.已知e10,R,a=e1+e2,b=2e1,若ab,则()A.=0B.e2=0C.e1e2D.e1e
8、2或=0解析:ab,存在实数k,使得a=kb,即(2k-1)e1=e2.e10,若2k-1=0,则=0或e2=0;又0与任何一个向量平行,e1e2或=0,故选D.答案:D181234564.在数轴x上,已知 =-3e(e为x轴上的单位向量),且点B的坐标为3,则向量 的坐标为.解析:由 =-3e,得点A的坐标为-3,则AB=3-(-3)=6,即 的坐标为6.答案:6191234565.已知e1,e2不共线,a=2e1-e2,b=e1+e2,且a与b共线,则实数的值为.解析:由题意,可设a=kb(kR),则2e1-e2=ke1+ke2,即(k-2)e1=(-k-1)e2.e1,e2不共线,2012345621
