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1、TSINGHUA UNIVERSITY自学自学自学自学7-47-4 二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析- - - -图解法图解法图解法图解法一、一、一、一、 写出应力圆方程写出应力圆方程写出应力圆方程写出应力圆方程 二、二、 应力圆的画法应力圆的画法 三、三、 应力圆的应用应力圆的应用 四、四、 几种特殊应力状态的应力圆几种特殊应力状态的应力圆自学提纲自学提纲1：单向拉伸应力状态的应力圆：单向拉伸应力状态的应力圆2 ：纯剪切应力状态的应力圆：纯剪切应力状态的应力圆3：二向等拉应力状态的应力圆：二向等拉应力状态的应力圆并判断应力圆的圆心在那个轴上？并判断应力圆的圆心
2、在那个轴上？1 定圆心定圆心 2 定半径定半径 3 画圆画圆1 求主应力求主应力 2 面内最大切应力面内最大切应力TSINGHUA UNIVERSITY7-3 二向二向应力状态分析？应力状态分析？-解析法解析法主应力（计算）、主平面（位置确定！）思路思路 -分析任意斜截面上的应力分析任意斜截面上的应力一一 任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力要求：要求： 1 掌握解决问题的思想掌握解决问题的思想要求：要求： 2 考研的同学理解记忆公式考研的同学理解记忆公式TSINGHUA UNIVERSITYxy各量的含义各量的含义 1) 左右面上的正应力左右面上的正应力 上下面上的正应力上下面上的正应力 2
3、 ) ) 左左 右右 面面 上上 的的 切切 应力应力TSINGHUA UNIVERSITY使微元或其局部顺时针方向转动为正；使微元或其局部顺时针方向转动为正；使微元或其局部顺时针方向转动为正；使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负反之为负反之为负反之为负切应力正负号规定切应力正负号规定切应力正负号规定切应力正负号规定方向角方向角方向角方向角 的的的的正负号规定正负号规定正负号规定正负号规定由由由由 x x正向转到截面正向转到截面正向转到截面正向转到截面外法线外法线逆时针逆时针 为正为正 反之为负反之为负反之为负反之为负yx 外法线外法线注意：注意：方向角方向角方向角方向角 的的的的定义定
4、义定义定义 以及正负号规定以及正负号规定以及正负号规定以及正负号规定1 1 方向角与应力分量的正负号规定方向角与应力分量的正负号规定方向角与应力分量的正负号规定方向角与应力分量的正负号规定正应力正负规定正应力正负规定正应力正负规定正应力正负规定拉应力为正拉应力为正压应力为负压应力为负TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY问题问题 已知原始单元体互相垂直面上的应力已知原始单元体互相垂直面上的应力求任意斜截面上的应力求任意斜截面上的应力 （斜截面的位置？斜截面的位置？）解决问题的方法解决问题的方法 平衡平衡 的思想的思想xyTSINGHUA UNIVERSIT
5、Yxy2、单元体的局部平衡、单元体的局部平衡n+TSINGHUA UNIVERSITY yxdA xs s2、单元体的局部平衡、单元体的局部平衡- - cos s s)cos(dAx- -s s ydA(sin )sindA s s + + sin dA(cos )xy+ + dA(sin )cosyx+ 0?TSINGHUA UNIVERSITY平衡方程平衡方程t t dA - -s s xdA(cos )sin- -t t xydA(cos )cos+ +s s ydA(sin )cos+ +t t yxdA(sin )sin yxdA xs sTSINGHUA UNIVERSITY3、平
6、面应力状态任意方向面上的正应力平面应力状态任意方向面上的正应力 与切应力与切应力 xyTSINGHUA UNIVERSITY例题例题1求斜面求斜面ab上的正应力和切应力上的正应力和切应力yx解：abTSINGHUA UNIVERSITY用用 斜截面截取，此截面上的应力为斜截面截取，此截面上的应力为TSINGHUA UNIVERSITY即单元体两个相互垂直面上即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数的正应力之和是一个常数即又一次证明了切应力的互等定理即又一次证明了切应力的互等定理TSINGHUA UNIVERSITY二二 主平面、主应力与主应力方向主平面、主应力与主应力方向 1 切应力为零
7、的面为主平面切应力为零的面为主平面? 2 主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力 ?3 3 主应力方向主应力方向-主平面的法线方向主平面的法线方向要求要求 掌握主应力计算！牢记公式，并进行掌握主应力计算！牢记公式，并进行排序！排序！TSINGHUA UNIVERSITY二二 主平面、主应力与主应力方向主平面、主应力与主应力方向 1 1 切应力为零的面为主平面切应力为零的面为主平面切应力为零的面为主平面切应力为零的面为主平面该式确定了两个相互垂直的主平面的位置该式确定了两个相互垂直的主平面的位置TSINGHUA UNIVERSITY对于平面应力状态，对于平面应力状态，对于平面应力状态，对于
8、平面应力状态，平行于平行于平行于平行于xyxy坐标面的平坐标面的平坐标面的平坐标面的平面，其上既没有正应面，其上既没有正应面，其上既没有正应面，其上既没有正应力，也没有切应力作力，也没有切应力作力，也没有切应力作力，也没有切应力作用，前后面是一个主用，前后面是一个主用，前后面是一个主用，前后面是一个主平面。平面。平面。平面。这一主平面上的主应力等于零这一主平面上的主应力等于零这一主平面上的主应力等于零这一主平面上的主应力等于零TSINGHUA UNIVERSITY解出的角度解出的角度解出的角度解出的角度角度角度角度角度 与与与与 0 0 0 0 完全重合。完全重合。完全重合。完全重合。2 求正
9、应力的极值面求正应力的极值面表明表明表明表明 正应力的极值面与主平面重合；正应力的极值面与主平面重合；正应力的极值面与主平面重合；正应力的极值面与主平面重合；正应力的极值就是主应力；正应力的极值就是主应力；上式对上式对上式对上式对 求一次导数，并令其等于零求一次导数，并令其等于零求一次导数，并令其等于零求一次导数，并令其等于零TSINGHUA UNIVERSITY3 平面应力状态的三个主应力平面应力状态的三个主应力 将三个主应力代数值由大到小顺序排列将三个主应力代数值由大到小顺序排列将三个主应力代数值由大到小顺序排列将三个主应力代数值由大到小顺序排列; ; ; ;主应力是一点应力状态的最终度量
10、主应力是一点应力状态的最终度量就是所谓的应力状态的不变性就是所谓的应力状态的不变性TSINGHUA UNIVERSITY由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用1 1 1 1表示表示表示表示对对对对求一次导数，并令其等于零；求一次导数，并令其等于零；求一次导数，并令其等于零；求一次导数，并令其等于零；不不不不同同同同方方方方向向向向面面面面上上上上的的的的切切切切应应应应力力力力亦亦亦亦随随随随着着着着坐坐坐坐标标标标的的的的旋旋旋旋转转转转而而而而变变变变化，因而切应力亦存在极值化，因而切应力亦存在极值化，因而切应力亦存在极值化，因而切应力亦存
11、在极值三三 面内面内最大切应力最大切应力 TSINGHUA UNIVERSITY得到得到得到得到 的极值的极值的极值的极值 上上上上述述述述切切切切应应应应力力力力极极极极值值值值仅仅仅仅对对对对垂垂垂垂直直直直于于于于xyxy坐坐坐坐标标标标面面面面的的的的方方方方向向向向面面面面而而而而言言言言，因而称为因而称为因而称为因而称为面内最大切应力面内最大切应力面内最大切应力面内最大切应力与与与与面内最小切面内最小切面内最小切面内最小切应力应力应力应力特别指出：特别指出：特别指出：特别指出：二二二二者者者者不不一一定定是是是是过过过过一一一一点点点点的的的的所所所所有有有有方方方方向向向向面面面
12、面中中中中切切切切应应应应力力力力的的的的最最最最大大大大和最小值和最小值和最小值和最小值 切记切记!TSINGHUA UNIVERSITY主平面主平面 主应力主应力 面内最大面内最大( (小小) )切应力总结切应力总结 TSINGHUA UNIVERSITY1 主应力大小主应力大小2 （面内）最大切应力（面内）最大切应力3 主平面位置主平面位置4 绘出主（应力绘出主（应力) )单元体单元体例题例题2：一点处的应力状态如图。：一点处的应力状态如图。 已知已知TSINGHUA UNIVERSITY1 主应力计算主应力计算正应力的两个极值就是正应力的两个极值就是两个主应力两个主应力公式公式排序排序
13、?TSINGHUA UNIVERSITY2 面内最大切应力面内最大切应力TSINGHUA UNIVERSITY3 主平面的位置主平面的位置代入代入 表达式可知表达式可知主应力主应力 方向：方向：主应力主应力 方向：方向：主应力方向主应力方向-主平面的法线方向主平面的法线方向TSINGHUA UNIVERSITY简单方法简单方法 主（应力）单元体主（应力）单元体 1 习惯直角坐标系按公式确定习惯直角坐标系按公式确定 绝对值小于绝对值小于45度角的度角的2 判断判断 给出原始单元体中代数值大的那个正应力给出原始单元体中代数值大的那个正应力3 判断判断 最大主应力最大主应力( (的区间的区间) )
14、面的法线方向面的法线方向( (的区间的区间) )( (两个切应力箭头指向决定两个切应力箭头指向决定) )4 大(求出的主应力求出的主应力) 之间夹角之间夹角 (小小) 大(原始单元体中代数值原始单元体中代数值) 第一主应力方向第一主应力方向TSINGHUA UNIVERSITY4 主主( (应力应力) )单元体：单元体：?起点起点代数值大代数值大转向逆时针转向逆时针?最大主应力最大主应力(代数值大代数值大)二向应力状态二向应力状态若若二向应力状态二向应力状态TSINGHUA UNIVERSITY二向应力状态二向应力状态横力弯曲横力弯曲 除了梁顶除了梁顶( (底底) )中性轴中性轴其它点其它点中
15、性轴中性轴圆轴扭转圆轴扭转二向应力状态二向应力状态特别说明特别说明TSINGHUA UNIVERSITYP例题例题350507070解：解：1 1 主应力大小主应力大小2 主平面位置主平面位置3 绘出绘出( (主应力主应力) )单元体。单元体。TSINGHUA UNIVERSITY 1 求主应力求主应力2 求主平面位置求主平面位置50507070大大大大大大大大3 主单元体主单元体逆时针转逆时针转?二向应力状态二向应力状态TSINGHUA UNIVERSITY主应力、主平面TSINGHUA UNIVERSITY练习求单元体练习求单元体4020401 主应力的大小主应力的大小 2 主单元体主单元
16、体3 (面内面内)最大切应力（应力单位取最大切应力（应力单位取MPa)顺时针顺时针!TSINGHUA UNIVERSITY为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？螺旋面断开？铸铁扭转铸铁扭转铸铁扭转铸铁扭转TSINGHUA UNIVERSITY例题例题4：讨：讨论圆轴扭转时论圆轴扭转时的的应力状态应力状态，并分析铸铁试件受扭并分析铸铁试件受扭时的破坏现象时的破坏现象 Me解解: : 1 ( (取单元体取单元体) ) 圆轴扭转时，在横截面的边缘圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其值为处切应力最大，其值为yx这也是横力弯曲中性轴上这也是横力弯曲中性轴上点的单元体点的单元体
17、TSINGHUA UNIVERSITY yx2 求主应力求主应力3 求主平面位置求主平面位置4 主单元体主单元体二向应力状态二向应力状态TSINGHUA UNIVERSITY分析破坏原因分析破坏原因MeMeTSINGHUA UNIVERSITY7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法？图解法？一、一、 应力圆方程应力圆方程 二、二、 应力圆的画法应力圆的画法 三、三、 应力圆的应用应力圆的应用 四、四、 几种特殊应力状态的应力圆几种特殊应力状态的应力圆如何绘制圆？如何绘制圆？TSINGHUA UNIVERSITY一、一、一、一、 应力圆方程应力圆方程应力圆方程应力圆方程 TSING
18、HUA UNIVERSITY半径转过的角度是方向面半径转过的角度是方向面半径转过的角度是方向面半径转过的角度是方向面 法线旋转角度的两倍；法线旋转角度的两倍；法线旋转角度的两倍；法线旋转角度的两倍；半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；方向面上的正应力和切应力；方向面上的正应力和切应力；方向面上的正应力和切应力；二
19、、 应力圆的画法 1 1、点面对应、点面对应、点面对应、点面对应2 2、转向对应、转向对应、转向对应、转向对应3 3、二倍角对应、二倍角对应、二倍角对应、二倍角对应xyTSINGHUA UNIVERSITY点面对应点面对应C CEeTSINGHUA UNIVERSITYC CDen E2 转向对应转向对应二倍角对应二倍角对应与二倍角对应与二倍角对应xdTSINGHUA UNIVERSITYOCD(s sx , xy)D(s sy , yx)建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系由面找点由面找点由面找点由面找点确定圆心和半径确定圆心和半径确定圆心和半径确定圆心和半径AB具体作圆步骤具体作圆步骤
20、AB圆心的特点圆心的特点D D两点一定是直径的两个端点两点一定是直径的两个端点?TSINGHUA UNIVERSITY在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具析问题的工具，而不是计算工具析问题的工具，而不是计算工具析问题的工具，而不是计算工具三、三、 应力圆的应用应力圆的应用 信息源信息源TSINGHUA UNIVERSITY xys sxs sy yx s soDA ABE点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力
21、和切应力和切应力C1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力从应力圆上确定任意斜截面上的应力nE2 DTSINGHUA UNIVERSITY yxs sxs sy xy s soDDA AB应力圆和横轴交点的横坐标值应力圆和横轴交点的横坐标值Cbe2 从应力圆上确定主应力大小从应力圆上确定主应力大小maxminTSINGHUA UNIVERSITYs sxs sy yxA AB xyE0Bs s s soDDCbes s s s 3 从应力圆上确定主平面位置从应力圆上确定主平面位置2 0起点代数值大起点代数值大的面对应的点的面对应的点大的正应力的大的正应力的面对应的点面对应的点转向转向 顺时针顺时针
22、TSINGHUA UNIVERSITY 有几个主应力有几个主应力？ s soadCbes s s s TSINGHUA UNIVERSITY s soCs s s s 4 从应力圆上确定面内最大切应力从应力圆上确定面内最大切应力应力圆上的最高点的纵坐标应力圆上的最高点的纵坐标对应对应 “ 面内最大切应力面内最大切应力” 。maxTSINGHUA UNIVERSITYs ss s s soABDDC1：单向拉伸应力状态的应力圆：单向拉伸应力状态的应力圆四四 几种特殊应力几种特殊应力 状态下的应力圆状态下的应力圆TSINGHUA UNIVERSITYo s s- -4545 s s4545- be
23、 D(0,- )CD (0, ) 2：纯剪切状态的应力圆：纯剪切状态的应力圆A ABTSINGHUA UNIVERSITYs ss s3：二向等值拉伸应力状态：二向等值拉伸应力状态 的应力圆的应力圆四四 几种特殊应力几种特殊应力 状态下的应力圆状态下的应力圆o s s结论：二向等值拉伸下结论：二向等值拉伸下, ,所有的面所有的面都是主平面都是主平面习题习题7-5 P253-254 TSINGHUA UNIVERSITY一、一、一、一、 应力圆方程应力圆方程应力圆方程应力圆方程 二、二、 应力圆的画法应力圆的画法 三、三、 应力圆的应用应力圆的应用 四、四、 几种特殊应力状态的应力圆几种特殊应力状态的应力圆要求要求
