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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑2022高考复习数学第一轮 第62讲 极坐标(知识点例题讲解练 极坐标 （2022年5月） 一、 学识要点 1、 极坐标系：平面内由极点O，极轴Ox，选定长度单位和角的正方向（取逆时针方向）， 就构成了极坐标系 2、 极坐标：对于极坐标系平面内的任意一点M，用?表示线段OM的长度，?表示从Ox到OM的角，?叫做点M的极径，?叫做点M的极角，有序数对(?，?)就叫做点M的极坐标 3、 极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与 直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数?、?对 ?)，应惟一点P(?，但平面内任
2、一个点P的极坐标不惟一一个点可以有多数个坐标， ?（?2k?)或这些坐标又有规律可循的，P(?，)极点除外）的全部坐标为(?，（?，?(2k?1)?），(k?Z)极点的极径为0，而极角任意取若对?、?的取值范围加 0?2?或?0，以限制那么除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定?0， ?等 4、 极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并且在两坐标系中取一致的单 位长度，建立极坐标系，平面上任一点M的直角坐标?x,y?和极坐标?,?有如下关系： ?2?x2?y2?x?cos?和?x?0? ?yy?sin?tan?x?根据上述关系，可将点的直角坐标和极坐标互
3、化，也可将曲线的直角坐标方程和极坐标 方程互化 5、 曲线的极坐标方程 以极坐标方程的解为坐标的点都在曲线上，曲线上点的极坐标并不都得志极坐标方程（点的极坐标不唯一），但其中至少有一个点的坐标得志方程，那么该方程称为该曲线的极坐标方程 6、 常见曲线的极坐标方程 （1） 过极点，倾斜角为?的直线的极坐标方程：? （2） 过点?a,0?，垂直于极轴的直线的极坐标方程：?cos?a （3） 过点?a,?，平行于极轴的直线的极坐标方程：?sin?a 2?（4） 过点M?a,?，垂直于OM的直线的极坐标方程：?cos?a （5） 以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程：?r （6） 以点?a,0?为圆
4、心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：?2acos? （7） 以点?a,?为圆心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：?2acos? （8） 以点?a,?为圆心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：?2asin? 2?为圆心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：?2asin? ?（9） 以点?a,?3?2（10） 以点?a,?为圆心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：?2acos? 二、 例题精讲 2例1、试写出由极坐标方程4?sin?2?5所确定的抛物线的顶点坐标 答案：? ?5?,? ?4?4?x?1?t,?5例2、求直线?（t为参数）被曲线?2cos?所截的弦长 4?y?1?3t?5
5、?答案： 例3、已知锐角?AOB?2?内有一个动点P，PM?OA,PN?OB，且四边形PMON的面积等于常数c，以O为极点，?AOB的平分线Ox为极轴，试求动点P的极坐标 27 5轨迹方程 2c2?答案：?cos2? sin2?44?2 例4、极坐标平面内，过原点O的动直线交圆?2acos?a?0?于点P，以线段OP为斜边作等腰直角三角形OPM（O、P、M按逆时针依次排列），求点M的轨迹方程 答案：? ?2acos? 4?x2y2xy?1，直线l:?1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点例5、已知椭圆 1282416R，又点Q在OP上且得志：OQ?OR?OR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程
6、，并说明轨迹是什么曲线 答案： 22?x?1?52?3?y?1?52?1?x2?y2?0? 1015、，且长轴平行于x轴的椭圆，但23是以?1,1?为中心，长、短半轴长分别为不包括原点 例6、在极坐标系中，P是曲线?12sin?上的动点，Q是曲线?12cos?的动点，试求|PQ|的最大值 答案：18 例7、F是定点，l是定直线，点F到l的距离为p?上6?p?0?，点M在直线l上滑动，动 点N在MF的延长线上，且得志条件（1） 求动点N的轨迹方程； （2） 求MN的最小值 答案：（1）?FNMN?1 MF1（2）若0?p?2，最小值为4；若p?2，?0?cos?p?； 11?cos?pp2那么最
7、小值为 p?1 三、 课堂练习 1、化极坐标方程?2cos?0为直角坐标方程为 答案：x2?y2?0或x?1 2、点M的直角坐标是(?1,3)，那么点M的极坐标为 答案：(2,2?) 33、极坐标方程?cos2?0表示的曲线为 答案：两条相交直线 4、直线xcos?ysin?0的极坐标方程为_ 答案：?2? 5、已知曲线C1与C2的极坐标方向分别为 ?cos?3，?4cos?（?0，0曲线C1与C2交点的极坐标为 答案：(23,?），那么2?6). 四、 课后作业 一、填空题 1、极坐标方程?cos?2?0化为直角坐标方程是 答案：x?2和?0,0? 2、极坐标系中，圆?cos?3sin?的圆
8、心坐标是 ，半径等于 答案：?1,2?，1 ?3?7?12?AOBO为极点，那么AB? ，?,?5,?， 4?3、若A、B两点的极坐标分别为?8,的面积S? 答案：7，103 4、圆心为?5,?，半径为4的圆的极坐标方程为 ?12?9?0 12?答案：?2?10?cos?5、在极坐标系中，?m,答案：1或5 ?6?到直线m?0?cos?那么m? ?3的距离为2， 6?6、在极坐标系?,?0?2?中，曲线?2sin?与?cos?1的交点的极坐标为 答案：?2, 二、选择题 7、圆?5cos?53sin?的圆心坐标是（ ） ?3?4? ?,A (?5?4? ) 3 B (?5,?3 ) C (5,
9、?3 ) D (?5,5? )3答案：A 8、极坐标方程?cos?2sin2?表示的曲线为（ ） A 一条射线和一个圆 B 两条直线 C 一条直线和一个圆 D 一个圆 答案：C 9、在极坐标系中与圆?4sin?相切的一条直线的方程为（ ） A ?cos ?2 B ?sin ?2?(?C ?4sin?3 ) ?(?D ?4sin?3 )答案：A 三、解答题 10、已知曲线C的极坐标方程为?2cos?，以极点为原点，极轴为Ox轴建立执教坐标系 （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点M(x，y)是曲线C上的动点，求z?x?y最大值和最小值 答案：（1）(x?1)?y?1 （2）最大值1?2，最小值1?2 22 11、从极点O作直线与另一向线l:?cos?4相交于点M，在OM上取一点P，使 |OM|?|OP|?12 （1）求点P的轨迹方程 （2）设R为l上任意一点，试求PR的最小值 答案：（1）?3cos?；（2）PR的最小值为1 12、以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的方程是 x2?y2?2x?23y?3?0.直线l的方程是?cos(?（1）求圆C的极坐标方程 ?4)?2 （2）求经过圆C的圆心且和直线l垂直的直线l的极坐标方程 答案： （1）?2?2?cos?23?sin?3?0 （2）?3?12sin(?4 ) 8
