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1、本文格式为Word版,下载可任意编辑2022高考复习数学第一轮 第62讲 极坐标(知识点例题讲解练 极坐标 (2022年5月) 一、 学识要点 1、 极坐标系:平面内由极点O,极轴Ox,选定长度单位和角的正方向(取逆时针方向), 就构成了极坐标系 2、 极坐标:对于极坐标系平面内的任意一点M,用?表示线段OM的长度,?表示从Ox到OM的角,?叫做点M的极径,?叫做点M的极角,有序数对(?,?)就叫做点M的极坐标 3、 极坐标有四个要素:极点;极轴;长度单位;角度单位及它的方向极坐标与 直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数?、?对 ?),应惟一点P(?,但平面内任
2、一个点P的极坐标不惟一一个点可以有多数个坐标, ?(?2k?)或这些坐标又有规律可循的,P(?,)极点除外)的全部坐标为(?,(?,?(2k?1)?),(k?Z)极点的极径为0,而极角任意取若对?、?的取值范围加 0?2?或?0,以限制那么除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定?0, ?等 4、 极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且在两坐标系中取一致的单 位长度,建立极坐标系,平面上任一点M的直角坐标?x,y?和极坐标?,?有如下关系: ?2?x2?y2?x?cos?和?x?0? ?yy?sin?tan?x?根据上述关系,可将点的直角坐标和极坐标互
3、化,也可将曲线的直角坐标方程和极坐标 方程互化 5、 曲线的极坐标方程 以极坐标方程的解为坐标的点都在曲线上,曲线上点的极坐标并不都得志极坐标方程(点的极坐标不唯一),但其中至少有一个点的坐标得志方程,那么该方程称为该曲线的极坐标方程 6、 常见曲线的极坐标方程 (1) 过极点,倾斜角为?的直线的极坐标方程:? (2) 过点?a,0?,垂直于极轴的直线的极坐标方程:?cos?a (3) 过点?a,?,平行于极轴的直线的极坐标方程:?sin?a 2?(4) 过点M?a,?,垂直于OM的直线的极坐标方程:?cos?a (5) 以极点为圆心,r为半径的圆的极坐标方程:?r (6) 以点?a,0?为圆
4、心,a?a?0?为半径的圆的极坐标方程:?2acos? (7) 以点?a,?为圆心,a?a?0?为半径的圆的极坐标方程:?2acos? (8) 以点?a,?为圆心,a?a?0?为半径的圆的极坐标方程:?2asin? 2?为圆心,a?a?0?为半径的圆的极坐标方程:?2asin? ?(9) 以点?a,?3?2(10) 以点?a,?为圆心,a?a?0?为半径的圆的极坐标方程:?2acos? 二、 例题精讲 2例1、试写出由极坐标方程4?sin?2?5所确定的抛物线的顶点坐标 答案:? ?5?,? ?4?4?x?1?t,?5例2、求直线?(t为参数)被曲线?2cos?所截的弦长 4?y?1?3t?5
5、?答案: 例3、已知锐角?AOB?2?内有一个动点P,PM?OA,PN?OB,且四边形PMON的面积等于常数c,以O为极点,?AOB的平分线Ox为极轴,试求动点P的极坐标 27 5轨迹方程 2c2?答案:?cos2? sin2?44?2 例4、极坐标平面内,过原点O的动直线交圆?2acos?a?0?于点P,以线段OP为斜边作等腰直角三角形OPM(O、P、M按逆时针依次排列),求点M的轨迹方程 答案:? ?2acos? 4?x2y2xy?1,直线l:?1,P是l上一点,射线OP交椭圆于点例5、已知椭圆 1282416R,又点Q在OP上且得志:OQ?OR?OR,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程
6、,并说明轨迹是什么曲线 答案: 22?x?1?52?3?y?1?52?1?x2?y2?0? 1015、,且长轴平行于x轴的椭圆,但23是以?1,1?为中心,长、短半轴长分别为不包括原点 例6、在极坐标系中,P是曲线?12sin?上的动点,Q是曲线?12cos?的动点,试求|PQ|的最大值 答案:18 例7、F是定点,l是定直线,点F到l的距离为p?上6?p?0?,点M在直线l上滑动,动 点N在MF的延长线上,且得志条件(1) 求动点N的轨迹方程; (2) 求MN的最小值 答案:(1)?FNMN?1 MF1(2)若0?p?2,最小值为4;若p?2,?0?cos?p?; 11?cos?pp2那么最
7、小值为 p?1 三、 课堂练习 1、化极坐标方程?2cos?0为直角坐标方程为 答案:x2?y2?0或x?1 2、点M的直角坐标是(?1,3),那么点M的极坐标为 答案:(2,2?) 33、极坐标方程?cos2?0表示的曲线为 答案:两条相交直线 4、直线xcos?ysin?0的极坐标方程为_ 答案:?2? 5、已知曲线C1与C2的极坐标方向分别为 ?cos?3,?4cos?(?0,0曲线C1与C2交点的极坐标为 答案:(23,?),那么2?6). 四、 课后作业 一、填空题 1、极坐标方程?cos?2?0化为直角坐标方程是 答案:x?2和?0,0? 2、极坐标系中,圆?cos?3sin?的圆
8、心坐标是 ,半径等于 答案:?1,2?,1 ?3?7?12?AOBO为极点,那么AB? ,?,?5,?, 4?3、若A、B两点的极坐标分别为?8,的面积S? 答案:7,103 4、圆心为?5,?,半径为4的圆的极坐标方程为 ?12?9?0 12?答案:?2?10?cos?5、在极坐标系中,?m,答案:1或5 ?6?到直线m?0?cos?那么m? ?3的距离为2, 6?6、在极坐标系?,?0?2?中,曲线?2sin?与?cos?1的交点的极坐标为 答案:?2, 二、选择题 7、圆?5cos?53sin?的圆心坐标是( ) ?3?4? ?,A (?5?4? ) 3 B (?5,?3 ) C (5,
9、?3 ) D (?5,5? )3答案:A 8、极坐标方程?cos?2sin2?表示的曲线为( ) A 一条射线和一个圆 B 两条直线 C 一条直线和一个圆 D 一个圆 答案:C 9、在极坐标系中与圆?4sin?相切的一条直线的方程为( ) A ?cos ?2 B ?sin ?2?(?C ?4sin?3 ) ?(?D ?4sin?3 )答案:A 三、解答题 10、已知曲线C的极坐标方程为?2cos?,以极点为原点,极轴为Ox轴建立执教坐标系 (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点M(x,y)是曲线C上的动点,求z?x?y最大值和最小值 答案:(1)(x?1)?y?1 (2)最大值1?2,最小值1?2 22 11、从极点O作直线与另一向线l:?cos?4相交于点M,在OM上取一点P,使 |OM|?|OP|?12 (1)求点P的轨迹方程 (2)设R为l上任意一点,试求PR的最小值 答案:(1)?3cos?;(2)PR的最小值为1 12、以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的方程是 x2?y2?2x?23y?3?0.直线l的方程是?cos(?(1)求圆C的极坐标方程 ?4)?2 (2)求经过圆C的圆心且和直线l垂直的直线l的极坐标方程 答案: (1)?2?2?cos?23?sin?3?0 (2)?3?12sin(?4 ) 8