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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年宁波市高一数学竞赛 归海木心 :634102564 2022年宁波市高一数学竞赛(二试) 2022年5月13上午9:00?11:00 注:本试卷可使用计算器. 一、 选择题：本大题共有10小题，每题6分，总分值60分，在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项正确 的。 1、 a,b为实数，集合M?,1?,P?a,0?,f:x?x表示把集合M的元素x映射到集合P中仍为x，那么 ?b?a?a?b? （A）?1 （B）0 （C）1 （D）?1 2、 1?sin40?cos20?1?cos160?2化简的结果为 1 （C）1 （D）?1 cos20?sin2
2、0?3、 已知A(0,?1),B(2,2),C(4,?6)，那么AB在AC方向上的投影为 （A）1?sin40? （B）（A）7777 （B）? （C） （D）? 411341131,那么a99? 411（A）2550 （B）2500 （C）2450 （D）2401 444、 在数列?an?中，a1?1,an?1?an?an?x?)(?0,x?R得志)f(x?1)?f(x)?f(x?1)5、 已知函数f(x)?sin(对任意的x?R都成立。若 A?sin(?x?9?),B?sin(?x?9?，那么)A与B的大小关系是 （A）A?B （B）A?B （C）A?B （D）不确定 6、 设a,b,c为
3、实数，4a?4b?c?0,a?2b?c?0。那么以下四个结论中正确的是 （A）b?ac （B）b?ac （C）b?ac且a?0 （D）b?ac且a?0 7、 设f(x)?xsinx，若x1,x2?2222?,?且f(x1)?f(x2)，以下结论中必定成立的是 ?22?（A）x1?x2 （B）x1?x2?0 （C）x1?x2 （D）x12?x22 8、 曲线y?5sin(2x?6)与直线y?x的交点个数是 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 9、 函数f定义在正整数有序对的集合上，并得志f(x,x)?x,f(x,y)?f(y,x), 归海木心 :634102564 归海木心 :6341025
4、64 (x?y)f(x,y)?yf(x,x?y)，那么f(14,52)的值为 （A）364 （B）182 （C）91 （D）无法计算 10、 O是平面上确定点，A,B,C平面上不共线的三个点，动点P得志 ?ABACOP?O?A(?)?,?，那么RP的轨迹确定通过?ABC的 ?ABcosABCAcCosBCA（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 二、 填空题目：本大题共10小题，每题6分，总分值60分。要求直接将答案写在横线上。 11、函数y?ax2?2(a?1)x?2在区间?,4?上递增，那么实数a的取值范围是 。 12、平面点集M?(x,y)cos?y?sin?,x?Z,y?1,x
5、?2，用列举法表示M? 。 13、已知数列?an?中，a1?1,a2?2,anan?1an?2?an?an?1?an?2，那么 2022i?1?ai? 。 14、已知sin(?2?)?3sin?,?k?tan(?),?n?(k,n?Z)，那么? 。 22tan?15、已知实数x,y得志(3x?y)5?x5?4x?y?0，那么4x?y? 。 ?16、已知f(x)是定义在?0,?上的增函数，当n?N时，有f(n)?N,?f?f(?n)那么3n,f(1)?f(2)? 。 17、若a?b?c?1,a,b,c?R?,4a?1?4a?1?4a?1?m,那么m最小值是 。 18、若?x?表示不大于x的最大整
6、数，那么使得?log21?log22?log23?log2n?2022成立的正整数 n的最小值是 。 19、已知x?R，那么函数f(x)?max?sinx,cosx,?sinx?cosx?的最大值与最小值的和等于 。 2?x2?kx?1?20、已知集合M?yy?2?任取a,b,c?M以a,b,c为长度的线段都能构成三角形，那么实数k的 x?x?1?取值范围为 。 三、 解答题：本大题共2小题，每题15分，总分值30分。解允许写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤。 221、已知二次函数f(x)?ax?bx?c(a,b,c?R)得志条件：对任意实数x都有f(x)?2x；且当0?x?2时， 总有
7、f(x)?1(x?1)2成立。 2归海木心 :634102564 归海木心 :634102564 （1）求f(1)的值；（2）求f(?1)的取值范围。 ?12a?(x,y),b?(x?,?1)22、已知函数y?f(x)得志，且a?b?1。假设存在正项数列?an?得志： xn1na1?,?f(ai)?n?ai3?n2an(n?N?)。 2i?1i?1（1）求数列?an?的通项；（2）证明： 归海木心 :634102564 ?i?1nai?3。 i归海木心 :634102564 参考答案 一、选择题：CCBBB BDCAD 二、填空题：11、?,0? 12、?(?1,?),(0,?),(1,?)?
8、 13、4014 14、2 15、0 322216、5 17、21 18、314 19、1?三、解答题： 21、解：（1）f(1)?2 5分 （2）对任意实数x都有f(x)?2x，即ax2?(b?2)x?c?0恒成立， ?1?111?2?210? 20、?,? 2?57?a?0?(b?2)?4ac?02，由于f(1)?a?b?c?2,?a?c,b?2?2a。 此时f(x)?111(x?1)2?(a?)(x?1)2，当0?x?2时，总有f(x)?(x?1)2成立， 2221?0?a?,?f(?1)?a?b?c?4a?2的取值范围是?2,0?。 15分 2 nn?3?a?b?1,?y?x?x?1(
9、x?0),?f(ai)?n?ai3?n2an(n?N?),22、证明：（1） i?1i?1?ai3?ai?ai3?n2an,?ai?n2ani?1i?1i?1i?1nnnn (1)又?ai?(n?1)2an?1(2)两式相减得： i?1n?1ann?1。 ?an?1n?1那么an?（ anan?1a21?(n?N?) 5分 an?1an?2a1n(n?1)2 ） 由 （ 1 ） 得 ： ?i?1nnai111211?2,?2?(i?2)ii(i?1)i(i?1)(i?1)i(i?1)i?1i?1i?1(i?1)(i?1)?(i?1?i?1) ?i?1n11n11n11?(?) ?22i(i?1)2i?2i(i?1)2i?2i?1i?1?1111?1?1?2?3 15分 22nn?1归海木心 :634102564 5
