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1、本文格式为Word版,下载可任意编辑5数列问题 一.专题综述 数列是新课程的必修内容,从课程定位上说,其测验难度不理应太大,数列试题倾向测验根基是根本方向从课标区的高考试题看,试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题,一道解答题由此我们可以预料2022年的高考中,数列试题会以测验根本问题为主,在数列的解答题中可能会展现与不等式的综合、与函数导数的综合等,但难度会得到操纵 二考纲解读 三.2022年高考命题趋向 1.等差数列作为最根本的数列模型之一,一向是高考重点测验的对象难度属中低档的题目较多,但也有难度偏大的题目其中,选择题、填空题突出“小、巧、活”,主要以通项公式、前n项和公式为载体,结
2、合等差数列的性质测验分类议论、化归与方程等思想,要提防通性、通法;解答题“大而全”,提防题目的综合与别致,突出对规律思维才能的测验预料2022年高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点,重点测验学生的运算才能与规律推理才能 2.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏高客观题突出“小而巧”,测验学生对根基学识的掌管程度;主观题测验较为全面,在测验根本运算、根本概念的根基上,又提防测验函数与方程、等价转化、分类议论等思想方法预料2022年高考,等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式仍将是测验的重点,更加是等比
3、数列的性质更要引起重视 3、等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是测验的热点,题型以解答题为主,难度偏高,主要测验学生分析问题和解决问题的才能预料2022年高考,等差数列与等比数列的交汇、数列与解析几何、不等式的交汇仍将是高考的主要考点,重点测验运算才能和规律推理才能 四高频考点解读 考点一 等差数列的性质和应用 例12022广东卷 等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11,aka40,那么k_. 【答案】10 【解析】 由S9S4,所以a5a6a7a8a90,即5a70,所以a70, 第 1 页 共 18 页 1 由a7a16d得d,又aka40, 6 11 ?a13?0,
4、 即a1(k1)?6?6?13 ?,所以k19,所以k10. 即(k1)?6?2 例2 2022湖南卷 设Sn是等差数列an(nN*)的前n项和,且a11,a47,那么S5_. 【答案】25 【解析】 设数列an的公差为d,由于a11,a47,所以a4a13d?d2,故S55a110d25. 例3 2022福建卷 已知等差数列an中,a11,a33. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列an的前k项和Sk35,求k的值 【解答】 (1)设等差数列an的公差为d,那么ana1(n1)d. 由a11,a33,可得12d3.解得d2. 从而,an1(n1)(2)32n. (2)由(1)可知an
5、32n. n1?32n? 所以Sn2nn2. 2 进而由Sk35可得2kk235. 即k22k350,解得k7或k5. 又kN*,故k7为所求 【解题技巧点睛】利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,由五个量a1,d(q),n,an,Sn中的三个量可求其余两个量,即“知三求二”,表达了方程思想.解答等差、等比数列的有关问题时,“根本量”(等差数列中的首项a1和公差d或等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法. 考点二 等比数列的性质和应用 来源:Zxxk.Com 1 例4 2022北京卷 在等比数列an中,若a1,a44,那么公比q_;|a1|a2| 2 ?|an|_. 1 【答案】 2
6、 2n1 211 【解析】 由a4a1q3q34,可得q2;因此,数列|an|是首项为,公比为2的等 22 1 ?12n?21 比数列,所以|a1|a2|?|an|2n1. 212 11 例5 2022课标全国卷 已知等比数列an中,a1,公比q. 33 1an (1)Sn为an的前n项和,证明:Sn; 2 (2)设bnlog3a1log3a2?log3an,求数列bn的通项公式 11?n11 【解答】 (1)由于an?n, 3?3?3 11?11n?1n3?3?31anSn,所以Sn. 1221 3 (2)bnlog3a1log3a2?log3an(12?n) n?n1?. 2 第 2 页
7、共 18 页 【答案】D 【解析】 由a2a9,d2,得(a112)2(a14)(a116),解之得a120,S1010207a3109(2)110. 2 111 例72022浙江卷 已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR),且,成等 a1a2a4 比数列 (1)求数列an的通项公式; 1111 (2)对nN*,试对比?与的大小 a2a22a2na1 1?211 【解答】 设等差数列an的公差为d,由题意可知?, ?a2?a1a4即(a1d)2a1(a13d),从而a1dd2. 由于d0,所以da1a, 故通项公式anna. 111 (2)记Tn?.由于a2n2na, a2a22a2
8、n 1?1?n?1?2?1?1?n?111112? 2?n?所以Tn?1?2?. 2?aa?221a 12 11 从而,当a0时,Tn,当a0时,Tn. a1a1 【解题技巧点睛】(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考测验的重点,更加是等差、等比数列的通项公式,前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点 (2)利用等比数列前n项和公式时留神公比q的取值同时对两种数列的性质,要熟谙它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程求解 考点四 求数列的通项公式 例8 2022江西卷 已知两个等比数列an,bn,得志a1a(a0),b1a11,b2a2
9、2,b3a33. (1)若a1,求数列an的通项公式; (2)若数列an唯一,求a的值 【解答】 (1)设an的公比为q,那么b11a2,b22aq2q,b33aq23q2, 由b1,b2,b3成等比数列得(2q)22(3q2), 即q24q20,解得q122,q222, 第 3 页 共 18 页 所以an的通项公式为an(22)n1或an(22)n1. (2)设an的公比为q,那么由(2aq)2(1a)(3aq2),得aq24aq3a10,(*) 由a0得4a24a0,故方程(*)有两个不同的实根, 1 由an唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a. 3 例9 2022安徽卷 在数1
10、和100之间插入n个实数,使得这n2个数构成递增的等比数列,将这n2个数的乘积记作Tn,再令anlgTn,n1. (1)求数列an的通项公式; (2)设bntanantanan1,求数列bn的前n项和Sn. 【解题技巧点睛】求数列的通项公式的方法: 1、利用转化,解决递推公式为Sn与an的关系式:数列an的前n项和Sn与通项an的关系: (n?1)?S1.通过纽带:an?Sn?Sn?(an?1n?2),根据题目求解特点,消掉一个 ?Sn?Sn?1(n2)把nan或Sn.然后再举行构造成等差或者等比数列举行求解.如需消掉Sn,利用已知递推式,换成(n+1)得到递推式,两式相减即可.若消掉an,只
11、需把an?Sn?Sn?1带入递推式即可. 不管哪种形式,需要留神公式an?Sn?Sn?1成立的条件n?2. 由递推关系求数列的通项公式 2.利用“累加法”和“累乘法”求通项公式:此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为an?1?an?f(n)用累加法;递推关系为 an?1?f(n)用累乘法.解题时需要an分析给定的递推式,使之变形为an?1?an、n?1布局,然后求解.要更加留神累加或累乘时,理应为(n?1)个式子,不要误认为n个. aan第 4 页 共 18 页 3.利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式:求数列通项公式方法生动多样,更加是对于给定的递推关系求通项公式,查
12、看、分析、推理才能要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法表达了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法. 考点五 等差等比数列的定义以及应用 例10 2022江西卷 (1)已知两个等比数列an,bn,得志a1a(a0),b1a11,b2a22,b3a33,若数列an唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列an,bn,使得b1a1,b2a2,b3a3,b4a4成公差不为0的等差数列?若存在,求an,bn的通项公式;若不存在,说明理由 【解答】 (1)设an的公比为q,那么b11a,b22aq,b33aq2,
13、 由b1,b2,b3成等比数列得(2aq)2(1a)(3aq2), 即aq24aq3a10. 由a0得4a24a0,故方程有两个不同的实根, 再由an唯一,知方程必有一根为0, 1 将q0代入方程得a. 3 3?1?n1n 例11 2022天津卷 已知数列an与bn得志bn1anbnan1(2)1,bn,n 2 N*,且a12. (1)求a2,a3的值; (2)设cna2n1a2n1,nN*,证明cn是等比数列; S2n1S2nS1S21 (3)设Sn为an的前n项和,证明?n(nN*) a1a23a2n1a2n 3?1?n1 【解答】 (1)由bn,nN, 2 ?2,n为奇数, 可得bn? ?1,n为偶数.? 又bn1anbnan1(2)n