计算方法ppt误差度量

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1、计算方法讲义计算方法讲义 教教 材：材：计算方法，计算方法课程组计算方法，计算方法课程组作作 业：业：计算方法作业集（计算方法作业集（A A、B B）参考书：参考书：1、封建湖，车刚明，计算方、封建湖，车刚明，计算方法典型题分析解集（第二版），西北工法典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社，业大学出版社，_.2、封建湖，聂玉峰，王振海，数值分、封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，析导教导学导考，西北工业大学出版社，_.课时数：课时数：32第一章第一章 绪绪 论论内容提要内容提要 1.1 1.1 引言引言 1.2 1.2 误差的度量与传播误差的度量与传播 1.

2、3 1.3 数值试验与算法性能比较数值试验与算法性能比较引言引言F提出实际问题提出实际问题 辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设的条件下，运用各种数学理论、工具理假设的条件下，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的联系和方法，建立起问题中不同量之间的联系 ，即得到数学模型。即得到数学模型。F建立数学模型建立数学模型 模型的适定性模型的适定性: :数学模型解的存在性（模型内数学模型解的存在性（模型内部没有蕴含矛盾）、惟一性（模型是完备的部没有蕴含矛盾）、惟一性（模型是完备的) )以及对原始数据具有的连续依赖性统称为模以及对原始数据具有的连

3、续依赖性统称为模型的适定性型的适定性. .科学与工程计算过程：科学与工程计算过程：F提出数值问题提出数值问题 数值问题是指有限个输入数据（问题数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所研究的无歧义的描述。这正是数值分析所研究的对象。对象。 数值问题举例数值问题举例 是用一阶常微分方程初值问题表示的是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是数值问题数值问题 。但当我们要

4、求出有限个点处函。但当我们要求出有限个点处函数值的近似值时，便成为一数值问题。数值的近似值时，便成为一数值问题。 F设计高效可靠的算法设计高效可靠的算法 计算方法的任务之一就是提供求得数值问计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法题近似解的方法算法。算法。 算法：算法：指把对数学问题的解法归结为只有指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序的完整而准确的描述。的完整而准确的描述。算法分类算法分类: : 分类方法分类方法1 1：若算法包含有一个进程则称：若算法包含有一个进程则称其为其为串行算法串行算法，否则为，否则为并

5、行算法并行算法。 分类方法分类方法2 2：从算法执行所花费的时间角：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为为数值型算法数值型算法，否则为，否则为非数值型算法非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算法。（其它类本课程介绍数值型串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）型算法参阅数据结构、并行算法等课程。） 算法的可靠性算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收：算法的可靠性包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面。敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是这些是数值分析研究的第二个任务。数值分析研究的第二个任务。 一个算法

6、在保证可靠的大前提下再评价其一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。优劣才是有价值的。算算法法的的优优劣劣评评价价：可可靠靠算算法法的的优优劣劣，应应该该考考虑虑其其时时间间复复杂杂度度（计计算算机机运运行行时时间间）、空空间间复复杂杂度度（占占据据计计算算机机存存储储空空间间的的多多少少）以以及及逻逻辑辑复复杂杂度度（影影响响程程序序开开发发的的周周期期以以及及维维护护）。这是数值分析研究的第三个任务这是数值分析研究的第三个任务。例例1 1例2 秦九韶算法 算法应用状态算法应用状态 计算方法研究对象以及解决问题方法的计算方法研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如广

7、泛适用性，著名流行软件如MapleMaple、MatlabMatlab、MathematicaMathematica等已将其绝大多数内容设计成函等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性，但由于实际问题的具体特征、复杂性， 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。科学与工程计算过程小结科学与工程计算过程小结提出实际

8、问题提出实际问题建立数学模型建立数学模型提出数值问题提出数值问题设计可靠、高效的算法设计可靠、高效的算法程序设计、上机实践计算结果程序设计、上机实践计算结果计算结果的可视化计算结果的可视化 在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。循环。 科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。 鉴鉴于于实实际际问问题题的的复复杂杂性性，通通常常将将其其具具体体地地分分解解为为一一系系列列子子问问题题进进行行研研究究，本本课课程程主主要要涉

9、涉及如下几个方面问题的求解算法：及如下几个方面问题的求解算法：函数的插值和曲线拟合函数的插值和曲线拟合数值积分和数值微分数值积分和数值微分线性方程组求解、非线性方程（组）求解线性方程组求解、非线性方程（组）求解代数特征值问题代数特征值问题常微分方程数值解法常微分方程数值解法 本课程主要内容本课程主要内容本课程的学习方法本课程的学习方法F尽管我们所学算法有限，但许多仍有学多学生会觉尽管我们所学算法有限，但许多仍有学多学生会觉得公式多，理论分析复杂。我们提出如下的几点学得公式多，理论分析复杂。我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。习方法，仅供初学者参考。1 1、以算法的理论分析为基础，理解记

10、忆公式。、以算法的理论分析为基础，理解记忆公式。2 2、搞清各章问题的基本提法、搞清各章问题的基本提法, , 算法提出的背景。算法提出的背景。3 3、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，熟练掌握最基本的算法。本线索，熟练掌握最基本的算法。4 4、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力。提高推理证明能力。5 5、认真进行数值计算的训练。、认真进行数值计算的训练。1.2 1.2 误差的度量与传播误差的度量与传播 内容提要：内容提要：一、误差的来源一、误差的来源二、误差的度量二、误差的度

11、量三、误差的传播三、误差的传播一、误差来源及其分类一、误差来源及其分类1)1)模型误差（描述误差）模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。（数学模型）通常是近似的。2 2）观测误差）观测误差 数学模型中包含的某些参数是通过观数学模型中包含的某些参数是通过观测得到的。测得到的。 在计算方法中不研究这两类误差，总是假在计算方法中不研究这两类误差，总是假定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。3 3）截断误差（方法误差）截断误差（方法误差） 数值方法精确解与待求解模型的理论分数值方法精确

12、解与待求解模型的理论分析解之间的差异。析解之间的差异。 这是由于我们需要将无穷过程截断为有这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。束而导致的。例如：例如：4 4）舍入误差）舍入误差 在实现数值方法的过程中，由于计算机表示在实现数值方法的过程中，由于计算机表示浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据

13、、以及最终输出结果必然产生误差，称计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。此类误差为舍入误差。 如利用计算机计算如利用计算机计算e e的近似值的近似值e en n时，实际上时，实际上得不到得不到e en n的精确值，只能得到的精确值，只能得到e en n的近似的近似e e* *；这样；这样e e* *作为作为e e的近似包含有的近似包含有舍入误差舍入误差和和截断误差截断误差两部两部分：分： 二、误差的度量二、误差的度量1)绝对误差2)相对误差3)有效数字4)各种度量之间的关系1. 绝对误差F绝对误差定义：准确值减近似值绝对误差定义：准确值减近似值 绝对误差限：绝对误差限：

14、2.2.相对误差相对误差RemarkRemark: : 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏程度的好坏 。3.3.有效数字有效数字 为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引出有效数字和有效数的概念。出有效数字和有效数的概念。 F有效数有效数：当：当x* 准确到末位，即准确到末位，即n=pn=p，则称，则称x*为为有效数有效数。 F举例：举例

15、：x=, xx=, x1 1* *=3.141, x=3.141, x2 2* *3 3位有效数字，非有效数位有效数字，非有效数4 4位有效数字，有效数位有效数字，有效数FRemark1Remark1: : 有效数的误差限是末位数单位的一半，有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。可见有效数本身就体现了误差界。FRemark2Remark2: : 对真值进行四舍五入得到有效数。对真值进行四舍五入得到有效数。FRemark3Remark3: :准确数字有无穷多位有效数字。准确数字有无穷多位有效数字。FRemark4Remark4: : 从实验仪器所读的近似数（最后一为是从

16、实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。对最后一位进行四舍五入得到有效数。例例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据是为从最小刻度为厘米的标尺读得的数据是为了得到有效数了得到有效数123.cm,123.cm,读得数据是为了得到有读得数据是为了得到有效数。效数。4.4.误差度量间的联系误差度量间的联系F绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差F绝对误差与有效数字绝对误差与有效数字F相对误差与有效数字相对误差与有效数字定理证明证毕RemarkF1 1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。F2 2、仅从、仅从 并不能保证并不能保证x x* *一定具有一定具有n n位有效数字。如位有效数字。如 设其近似值，其相对误差为：设其近似值，其相对误差为：我们并不能由此断定我们并不能由此断定a a有两位有效数字，因为有两位有效数字，因为例题例题解：解：三、误差的传播三、误差的传播F概念概念：近似数参加运算后所得之值一般也是近似：近似数参加运算后所得之值一