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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高中数学竞赛专题讲义 深圳其次测验学校高二数学竞赛专题讲义 高斯函数(1) 学识点金 1. 有关概念 对于任意实数x,?x?为不超过x的最大整数,y?x?称为取整函数或叫高斯函数,并将y?x?x?x?称为小数片面函数,表示x的小数片面. 2. 重要性质 (1) y?x?的定义域是R,值域为Z; (2) 假设x?R,n?Z,那么有?n?x?n?x?; (3) 对任意x?R,有?x?x?x?1,x?1?x?x; (4) 当x?y时,有?x?y?,即y?x?是不减函数; (5) 对于x,y?R,有?x?y?x?y?x?y?1; (6) 假设n?N?,x?R,那么?
2、nx?n?x?; ?x?x?(7) 假设n?N,x?R,那么?. nn?3. 常用方法 (1) 定义法 (2) 议论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法 例题精析 例1 求方程3 例2 解方程 8?3x?5?2x?3. 例3 求方程lgx?lgx?2?0的实数根的个数. 22x?10?3x?1?32x?10?3x?1?82?80的解的个数. ? 深圳其次测验学校高二数学竞赛专题讲义 例4 求函数f(x)?的值域. ?15?x?1(0?x?100)? 例5 求证:方程?x?2x?4x?8x?16x?32x?12345 无实数解. 例6 (1) x?R?,n?N?,且1至x之间的整数中
3、,有 ?x?个是n的倍数. ?n?x?15?(2) 在n!中,质数P的最高方次数是P(n!)?n?n?n?2?3?. ?p?p?p?(3) x为实数,n为正整数,求证: ?x?x? 例7 若实数x得志?x?1?n?2?n?1? x?x?nx?.nn?19?20?91?x?x?546,求?100x?的值. ?100?100?100? 深圳其次测验学校高二数学竞赛专题讲义 100例8 求?n?1?23n?的值. ?101? ?1020000?例9 求?100?的个位数字. 10?3? ?k2?,1?k?2022,k?N例10 设?x?表示不超过实数x的最大整数,求集合?nn?的?2022?元素个数
4、. 同步检测1 1. 求?2?2022?2022?2?3?3?的值. 232022?y?2?x?32. 已知x,y得志?,求x?y的取值范围. y?3x?2?5?3. 求方程?tanx?2cosx的解集. 24. 解方程 4x?40?x?51?0. 25. 求方程x?8?x?7?0的全体解. 26. 解方程x?x?3. 3?x7. 求函数f(x)?1?12?21?12?2?,x?(0,90)的值域. x?1093?8. 求实数?31?的末两位数字. 10?3?深圳其次测验学校高二数学竞赛专题讲义 ?n?2k?9. 对任意的n?N,计算和S?k?1?. k?0?2?10. 计算和式S?305n?
5、503?的值. ?n?0?2250211. 设M为一正整数,问方程x2?x?x?在?1,M?中有多少个解? 12. 对自然数n及一切自然数x,求证: ?x?x?1?n?2?n?1?x?x?nx?n?n?. 13. 在区域?(x,y)x,y?0,xy?1?中,求函数f(x,y)?x?y?x?y?x?y?1的值域,其中 ?a?表示a的整数片面. ?n2?14. 设n是给定的大于1的正整数,求证: 存在唯一的正整数A?n,使得n?1. ?A?2 深圳其次测验学校高二数学竞赛专题讲义 高斯函数(2) 前述片面重要性质的证明: 性质5: ?x?x?x?,?y?y?y?,?x?y?x?y?x?y? ?x?
6、y?0或1 性质6: x?x?x?,?nx?n?x?n?x? ?n?x?n?x?n?x?性质7: ?x?x?x?x?x?x?x? ?1?n?x?n?n?n?x?n?n?n?n?n?n?n?n?n?x?x?x?x?x?1?. n?n?n?n?n?例11.从992到1992的整数中,有多少个数是7的倍数?假设7992?993?1992,求最大的正整数k. 例12. 求1992!末尾的0 的个数. ?12?22?32?19802?例13.在整数列?,?,?,?,?中,包含着多少个互不相等的整数? 1980198019801980?k 例14.求数列1,2,2,3,3,3,?,k,k,?,k的通项公式. ?k个 深圳其次测验学校高二数学竞赛专题讲义 同步检测2 1.?x?y?是x?y?1的 条件. A. 充分不必要 B 必要不充分 C. 充分必要 D.既不充分也不必要 2.在1000!的十进制开展中,末尾有 个零. 3.方程?2x?9? 4.求和?1?2?3?n2?1?. ?x2的实数解为 . 5.求证:对于任意实数x,y都有?2x?2y?x?x?y?y? 6.对于n为大于2 的正整数,求证:? 1024?n(n?1)?n?1?. ?4?4n?2?7.求和?log2N? N?1 5
