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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1双曲线:(,)的一个焦点为(),且双曲线的两条渐近线与圆:均相切,则双曲线的渐近线方程为( )ABCD2已知复数在复平面内对应的点的坐标为,则下列结论正确的是( )AB复数的共轭复数是
2、CD3已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心,则双曲线的离心率为( )ABCD24已知实数、满足约束条件,则的最大值为( )ABCD5如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是( )AACBEBEF平面ABCDC三棱锥A-BEF的体积为定值D异面直线AE,BF所成的角为定值6已知集合,定义集合,则等于( )ABCD7如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积( )ABCD8已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是( )ABCD9已知为圆的一条直径,点的坐标满足不等式组则的取
3、值范围为( )ABCD10已知,是函数图像上不同的两点,若曲线在点,处的切线重合,则实数的最小值是( )ABCD111如图所示,矩形的对角线相交于点,为的中点,若,则等于( )ABCD12已知函,则的最小值为( )AB1C0D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为_.(用数字作答)14设满足约束条件且的最小值为7,则_.15在中,角、所对的边分别为、,若,则的取值范围是_16已知三棱锥中,则该
4、三棱锥的外接球的表面积是_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知数列是各项均为正数的等比数列,数列为等差数列,且,.(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前项和;(3)设为数列的前项和,若对于任意,有,求实数的值.18(12分)已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为()求椭圆的离心率;()如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程19(12分)已知关于的不等式有解.(1)求实数的最大值;(2)若,均为正实数,且满足.证明:.20(12分)已知数列,其前项和为,满足,其中,.若,(),求证:数列是等比数列;若数列是等比数列,
5、求,的值;若,且,求证:数列是等差数列.21(12分)已知函数,若的解集为(1)求的值;(2)若正实数,满足,求证:22(10分)在平面直角坐标系xoy中,曲线C的方程为.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C的极坐标方程,并求出直线l与曲线C的交点M,N的极坐标;(2)设P是椭圆上的动点,求面积的最大值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1A【解析】根据题意得到,化简得到,得到答案.【详解】根据题意知:焦点到渐近线的距离为,故,故渐近线为.故选:.【点睛】本题考查了直线
6、和圆的位置关系,双曲线的渐近线,意在考查学生的计算能力和转化能力.2D【解析】首先求得,然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】由题意知复数,则,所以A选项不正确;复数的共轭复数是,所以B选项不正确;,所以C选项不正确;,所以D选项正确.故选:D【点睛】本小题考查复数的几何意义,共轭复数,复数的模,复数的乘法和除法运算等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想.3B【解析】求出圆心,代入渐近线方程,找到的关系,即可求解.【详解】解:,一条渐近线,故选:B【点睛】利用的关系求双曲线的离心率,是基础题.4C【解析】作出不等式组表
7、示的平面区域,作出目标函数对应的直线,结合图象知当直线过点时,取得最大值.【详解】解:作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,如下图表示:当目标函数经过点时,取得最大值,最大值为.故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识;考查运算求解能力,数形结合思想,应用意识,属于中档题.5D【解析】A通过线面的垂直关系可证真假;B根据线面平行可证真假;C根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D根据列举特殊情况可证真假.【详解】A因为,所以平面,又因为平面,所以,故正确;B因为,所以,且平面,平面,所以平面,故正确;C因为为定值,到平面的距离为,所以为定值,故正确;D当,取为,如下图所示:
8、因为,所以异面直线所成角为,且,当,取为,如下图所示:因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以异面直线所成角为,且,由此可知:异面直线所成角不是定值,故错误.故选:D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.6C【解析】根据定义,求出,即可求出结论.【详解】因为集合,所以,则,所以.故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算,理解新定义是解题的关键,属于基础题.7C【解析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【详解】解:几何体的直观图如图,是正方体
9、的一部分,PABC,正方体的棱长为2,该几何体的表面积:故选C【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积,判断几何体的形状是解题的关键8C【解析】分析:先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间,再画图分析转化对区间内的任意实数,都有,得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.详解:由题得. 当a1时,所以函数f(x)在单调递减, 因为对区间内的任意实数,都有, 所以, 所以 故a1,与a1矛盾,故a1矛盾. 当1ae时,函数f(x)在0,lna单调递增,在(lna,1单调递减. 所以 因为对区间内的任意实数,都有, 所以, 所以 即 令, 所以 所以函数g(a)在(1,e)上
10、单调递减, 所以, 所以当1ae时,满足题意. 当a时,函数f(x)在(0,1)单调递增, 因为对区间内的任意实数,都有, 所以, 故1+1, 所以 故综上所述,a.故选C.点睛:本题的难点在于“对区间内的任意实数,都有”的转化.由于是函数的问题,所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来,完成了数学问题的等价转化,找到了问题的突破口.9D【解析】首先将转化为,只需求出的取值范围即可,而表示可行域内的点与圆心距离,数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为,则,过作直线的垂线,垂足为
11、B,显然,又易得,所以,故.故选:D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题,涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识,考查学生转化与划归的思想,是一道中档题.10B【解析】先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程,再利用两直线斜率相等且纵截距相等,列出关系树,从而得出,令函数 ,结合导数求出最小值,即可选出正确答案.【详解】解:当 时,则;当时,则.设 为函数图像上的两点,当 或时,不符合题意,故.则在 处的切线方程为;在 处的切线方程为.由两切线重合可知 ,整理得.不妨设则 ,由 可得则当时, 的最大值为.则在 上单调递减,则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意
12、义,考查了推理论证能力,考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.11A【解析】由平面向量基本定理,化简得,所以,即可求解,得到答案【详解】由平面向量基本定理,化简,所以,即,故选A【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用,其中解答熟记平面向量的基本定理,化简得到是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,数基础题12B【解析】,利用整体换元法求最小值.【详解】由已知,又,故当,即时,.故选:B.【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值,涉及到二倍角公式的应用,是一道中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。1
13、35040.【解析】分两类,一类是甲乙都参加,另一类是甲乙中选一人,方法数为。填5040.【点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏.在本题中,甲与乙是两个特殊元素,对于特殊元素“优先法”,所以有了分类。本题还涉及不相邻问题,采用“插空法”。143【解析】根据约束条件画出可行域,再把目标函数转化为,对参数a分类讨论,当时显然不满足题意;当时,直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当时,的截距没有最小值,即z没有最小值;当时,的截距没有最大值,即z没有最小值,综上可得出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下:由,可得出交点,由可得,当时显然不满足题意;当即时,由可行域可知当直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);当即时,由可行域可知的截距没有最小值,即z没有最小值;当即时,根据可行域可知的截距没有最大值,即z没有最小值.综上可知满足条件时.故答案为:3.【点睛】本题主要考查线性规划问题,约束条件和目标函数中都有参数,要对参数进行讨论.15【解析】计算出角的取值范围,结合正弦定理可求得的取值范围.【详解】,则,所以,由正弦定理,.因此,的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题主要考查了正弦定理,正